Question

3²ⁿ+7 is divisible by 8 for all n ∈ N.

Answer 1

Let P(n) be the given statement.
Now,
$$\begin{gathered} P\left(n\right):3^{2n}+7\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}8\mathrm{for}\mathrm{all}n\in N. \\ \mathrm{Step}1: \\ P\left(1\right)=3^2+7=9+7=16 \\ It\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}8. \\ Step2: \\ \mathrm{Let}P\left(m\right)\mathrm{be}\mathrm{true}. \\ \mathrm{Then},3^{2m}+7i\mathrm{s}\mathrm{divisible}\mathrm{by}8. \\ Thus,3^{2m}+7=8\lambda \mathrm{for}\mathrm{some}\lambda \in N....\left(1\right) \\ \mathrm{We}\mathrm{need}\mathrm{to}\mathrm{show}\mathrm{that}P(m+1)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{whenever}P\left(m\right)\mathrm{is}\mathrm{true}. \\ \mathrm{Now}, \\ P(m+1)=3^{2m+2}+7 \\ =3^{2m}.9+7 \\ =(8\lambda -7).9+7\left[\mathrm{From}\left(1\right)\right] \\ =72\lambda -63+7 \\ =72\lambda -56 \\ =8(9\lambda -7) \\ It\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{multiple}\mathrm{of}8. \\ Thus,P(m+1)\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}8. \\ Bythep\mathrm{rinciple}\mathrm{of}m\mathrm{athema}ti\mathrm{cal}\mathrm{induction},P\left(n\right)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{all}n\in N. \end{gathered}$$