Question

If A and B are square matrices of order 2, then det (A + B) = 0 is possible only when
(a) det (A) = 0 or det (B) = 0
(b) det (A) + det (B) = 0
(c) det (A) = 0 and det (B) = 0
(d) A + B = O

Answer 1

(d) A + B = O

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{A}=\left[{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\right]\mathrm{and}\mathrm{B}=\left[{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\right]\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{square}\mathrm{matrix}\mathrm{of}\mathrm{order}2. \\ \mathrm{As}\mathrm{their}\mathrm{orders}\mathrm{are}\mathrm{same},\mathrm{A}+\mathrm{B}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{as} \\ \mathrm{A}+\mathrm{B}=\left[{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}+{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\right] \\ \Rightarrow \left|\mathrm{A}+\mathrm{B}\right|=\left|{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}+{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\right| \\ \mathrm{Now}, \\ \left|\mathrm{A}+\mathrm{B}\right|=0 \\ \Rightarrow \left|{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}+{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\right|=0 \\ \Rightarrow \left[{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}+{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}\right]=0\left[\mathrm{each}\mathrm{corrsponding}\mathrm{term}\mathrm{is}0\right] \\ \Rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{B}=0 \end{gathered}$$