Question

If $a+b+c=0$, then the value of $(a+b-c{)}^3+(b+c-a{)}^3+(c+a-b{)}^3$ is:

• A. $8(a^3+b^3+c^3)$
• B. $a^3+b^3+c^3$
• C. $24abc$
• D. $-24abc$

Answer 1

The correct option is D $-24abc$

$a+b+c=0$
Now, $(a+b-c{)}^3=(a+b+c–c-c{)}^3$
$=(0–2c{)}^3=-8c^3$
$(b+c-a{)}^3=(b+c+a–a-a{)}^3$
$=(0–2a{)}^3=-8a^3$
$(c+a-b{)}^3=(c+a+b–b-b{)}^3$
$=(0–2b{)}^3=-8b^3$
$\therefore (a+b-c{)}^3+(b+c-a{)}^3+(c+a-b{)}^3$
$=(-8c^3)+(-8a^3)+(-8b^3)$
$=-8(a^3+b^3+c^3)=-8\left(3abc\right)=-24abc$....... using :[$a^3+b^3+c^3-3abc$
$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2–ab–bc-ca)$]
[If $a+b+c=0$ then $a^3+b^3+c^3=3abc]$