Question

If $A=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right]$. Find the value $A^2$.

Answer 1

$A^2=A\times A=\left[\begin{array}{cc}cos2\theta & sin2\theta \\ -sin2\theta & cos2\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}cos2\theta & sin2\theta \\ -sin2\theta & cos2\theta \end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}cos2\theta \times cos2\theta -sin2\theta \times sin2\theta & cos2\theta \times sin2\theta +sin2\theta \times cos2\theta \\ -sin2\theta \times cos2\theta +cos2\theta \times -sin2\theta & -sin2\theta \times sin2\theta +cos2\theta \times cos2\theta \end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}co{s}^{2}2\theta -si{n}^{2}2\theta & 2sin2\theta cos2\theta \\ -2sin2\theta cos2\theta & co{s}^{2}2\theta -si{n}^{2}2\theta \end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}cos4\theta & sin4\theta \\ -sin4\theta & cos4\theta \end{array}\right]$