Question

If $f\left(x\right)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}$, then f(x + y) f(x − y) is equal to
(a) $\frac{1}{2}\left[f\left(2x\right)+f\left(2y\right)\right]$
(b) $\frac{1}{2}\left[f\left(2x\right)-f\left(2y\right)\right]$
(c) $\frac{1}{4}\left[f\left(2x\right)+f\left(2y\right)\right]$
(d) $\frac{1}{4}\left[f\left(2x\right)-f\left(2y\right)\right]$

Answer 1

(a) $\frac{1}{2}\left[f\left(2x\right)+f\left(2y\right)\right]$

Given:
$f\left(x\right)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}$
Now,
f(x + y) f(x − y) = $\left(\frac{2^{x+y}+2^{-x-y}}{2}\right)\left(\frac{2^{x-y}+2^{-x+y}}{2}\right)$
⇒ f(x + y) f(x − y) = $\frac{1}{4}\left(2^{2x}+2^{-2y}+2^{2y}+2^{-2x}\right)$
⇒ f(x + y) f(x − y) = $\frac{1}{2}\left(\frac{2^{2x}+2^{-2x}}{2}+\frac{2^{2y}+2^{-2y}}{2}\right)$
⇒ f(x + y) f(x − y) = $\frac{1}{2}\left[f\left(2x\right)+f\left(2y\right)\right]$