Question

If $\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|=k\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab\right)$, then $k=$

• A. $1$
• B. $2$
• C. $-1$
• D. $-2$

Answer 1

The correct option is C $-1$

Given,

$k\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab\right)$

$=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|$

$=a(bc-a^2)-b(b^2-ac)+c(ab-c^2)$

$=abc-a^3+abc-b^3+abc-c^3$

$=3abc-a^3-b^3-c^3$

$=-(a^3+b^3+c^3-3abc)$

$=-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$=(-1)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

By comparing we get

$k=-1$