Question

(|x+2|-x)/x

What is the solution of this inequality?

Answer 1

The given inequality is,

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{\left|x+2\right|-x}{x}<2 \\ \Rightarrow \frac{\left|x+2\right|-x}{x}-2<0 \\ \Rightarrow \frac{\left|x+2\right|-x-2x}{x}<0 \\ \Rightarrow \frac{\left|x+2\right|-3x}{x}<0 \\ \mathrm{Now}\mathrm{imposing}\mathrm{condition}\mathrm{on}\left|\mathrm{x}+2\right|, \\ \mathrm{Case}1- \\ \mathrm{When}\mathrm{x}+2>0....\left(1\right) \\ \mathrm{then},\left|\mathrm{x}+2\right|=\mathrm{x}+2,\mathrm{putting}\mathrm{this}\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}+2-3\mathrm{x}}{\mathrm{x}}<0 \\ \Rightarrow \frac{-2\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}}<0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}}>0 \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{will}\mathrm{be}, \\ \mathrm{x}\in (-\infty ,0)\cup (1,\infty )....\left(2\right) \\ \mathrm{Now}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{interval}\mathrm{in}\mathrm{equation}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right)\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \mathrm{x}\in (-2,0)\cup (1,\infty )..........\left(3\right) \\ \mathrm{Case}2- \\ \mathrm{When}\mathrm{x}+2<0\mathrm{or}\mathrm{x}\in (-\infty ,-2)....\left(4\right) \\ \mathrm{then},\left|\mathrm{x}+2\right|=-\mathrm{x}-2,\mathrm{putting}\mathrm{this}\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \Rightarrow \frac{-\mathrm{x}-2-3\mathrm{x}}{\mathrm{x}}<0 \\ \Rightarrow \frac{-4\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}}<0 \\ \Rightarrow \frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}}>0 \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{will}\mathrm{be}, \\ \mathrm{x}\in (-\infty ,0)\cup (\frac{1}{2},\infty )....\left(5\right) \\ \mathrm{Now}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{interval}\mathrm{in}\mathrm{equation}\left(4\right)\mathrm{and}\left(5\right)\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \mathrm{x}\in (-\infty ,-2)..........\left(6\right) \\ \mathrm{Now}\mathrm{final}\mathrm{interval}\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{union}\mathrm{of}\mathrm{equation}\left(3\right)\mathrm{and}\left(6\right),\mathrm{so}\mathrm{final}\mathrm{answer}, \\ \mathrm{x}\in (-\infty ,-2)\cup (-2,0)\cup (1,\infty )\mathbf{}\mathbf{\left(}\mathbf{Answer}\mathbf{\right)} \end{gathered}$$