Question

Prove $\cot x\cot 2x-\cot 2x\cot 3x-\cot 3x\cot x=1$

Answer 1

LHS $cotx\cot 2x-\cot 2x\cot 3x-\cot 3xcotx$

$\Rightarrow \frac{1}{tanx\tan 2x}-\frac{1}{\tan 2x\tan 3x}-\frac{1}{\tan 3xtanx}$

$\Rightarrow \frac{\tan 3x-tanx-\tan 2x}{tanx\tan 2x\tan 3x}$

$\Rightarrow \frac{\tan 3x-(tanx+\tan 2x)}{tanx\tan 2x\tan 3x}$

$\because \tan (A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$

$\Rightarrow \frac{\tan 3x-\tan \left(3x\right)(1-tanx\tan 2x)}{tanx\tan 2x\tan 3x}$

$\Rightarrow \frac{\tan 3x-\tan 3x+tanx\tan 2x\tan 3x}{tanx\tan 2x\tan 3x}$

$=1=$ RHS Hence proved.