Question

$\mathrm{Prove}\mathrm{that}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24},\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}n>1.$ [NCERT EXEMPLAR]

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{p}\left(n\right):\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24},\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}n>1. \\ \mathrm{Step}\mathrm{I}:\mathrm{For}n=2, \\ \mathrm{LHS}=\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}=\frac{14}{24}>\frac{13}{24}=\mathrm{RHS} \\ \mathrm{As},\mathrm{LHS}>\mathrm{RHS} \\ \mathrm{So},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}n=2. \\ \mathrm{Step}\mathrm{II}:\mathrm{For}n=k, \\ \mathrm{Let}\mathrm{p}\left(k\right):\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}>\frac{13}{24},\mathrm{be}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{some}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}k>1. \\ \mathrm{Step}\mathrm{III}:\mathrm{For}n=k+1, \\ \mathrm{p}\left(k+1\right)=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1} \\ >\frac{13}{24}+\frac{1}{2k+1}\left(\mathrm{Using}\mathrm{step}\mathrm{II}\right) \\ >\frac{13}{24} \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}.\mathrm{p}\left(k+1\right)>\frac{13}{24} \\ \mathrm{So},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{true}\mathrm{for}n=k+1. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{p}\left(n\right):\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24},\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}n>1. \end{gathered}$$