Question

Prove that :

$\left|\begin{array}{ccc}\left(a+1\right)\left(a+2\right)& a+2& 1\\ \left(a+2\right)\left(a+3\right)& a+3& 1\\ \left(a+3\right)\left(a+4\right)& a+4& 1\end{array}\right|=-2$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{LHS}=\mathrm{\Delta }=\left|\left(a+1\right)\left(a+2\right)a+21 \\ \left(a+2\right)\left(a+3\right)a+31 \\ \left(a+3\right)\left(a+4\right)a+41\right| \\ =\left|\left(\mathrm{a}+1\right)\left(\mathrm{a}+2\right)-\left(\mathrm{a}+2\right)\left(\mathrm{a}+3\right)\left(\mathrm{a}+2\right)-\left(\mathrm{a}+3\right)0 \\ \left(\mathrm{a}+2\right)\left(\mathrm{a}+3\right)-\left(\mathrm{a}+3\right)\left(\mathrm{a}+4\right)\left(\mathrm{a}+3\right)-\left(\mathrm{a}+4\right)0 \\ \left(\mathrm{a}+3\right)\left(\mathrm{a}+4\right)\left(\mathrm{a}+4\right)1\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{C}}_1\to \hspace{0.17em}{\mathrm{C}}_1-{\mathrm{C}}_2\mathrm{and}{\mathrm{C}}_2\to {\mathrm{C}}_2-{\mathrm{C}}_3\right] \\ =\left|-2\left(\mathrm{a}+2\right)-10 \\ -2\left(\mathrm{a}+3\right)-10 \\ \left(\mathrm{a}+3\right)\left(\mathrm{a}+4\right)\left(\mathrm{a}+4\right)1\right| \\ =\left\{1\times \left|-2\left(\mathrm{a}+2\right)-1 \\ -2\left(\mathrm{a}+3\right)-1\right|\right\}\left[\mathrm{Expanding}\mathrm{along}{\mathrm{C}}_3\right] \\ =4+2\mathrm{a}-2\mathrm{a}-6 \\ =-2 \\ =\mathrm{RHS} \end{gathered}$$

Hence proved.