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Question

$$(r_1 \, - \, r) \, (r_2 \, + \, r_3) \, = \, a^2$$


Solution

To prove: $$(r_{1}-r)(r_{2}+r_{3})=a^{2}$$
We know, 
$${ r }_{ 1 }=4R\sin { \cfrac { A }{ 2 }  } \cos { \cfrac { B }{ 2 }  } \cos { \cfrac { C }{ 2 }  } \\ { r }_{ 2 }=4R\sin { \cfrac { B }{ 2 }  } \cos { \cfrac { C }{ 2 }  } \cos { \cfrac { A }{ 2 }  } \\ { r }_{ 3 }=4R\sin { \cfrac { C }{ 2 }  } \cos { \cfrac { A }{ 2 }  } \cos { \cfrac { B }{ 2 }  } \\ r=4R\sin { \cfrac { A }{ 2 }  } \sin { \cfrac { B }{ 2 }  } \sin { \cfrac { C }{ 2 }  } $$
Now, 
$$(r_{ 1 }-r)(r_{ 2 }+r_{ 3 })\\ =\left( 4R\sin { \cfrac { A }{ 2 }  } \cos { \cfrac { B }{ 2 }  } \cos { \cfrac { C }{ 2 }  } -4R\sin { \cfrac { A }{ 2 }  } \sin { \cfrac { B }{ 2 }  } \sin { \cfrac { C }{ 2 }  }  \right) \left( 4R\sin { \cfrac { B }{ 2 }  } \cos { \cfrac { C }{ 2 }  } \cos { \cfrac { A }{ 2 }  } +4R\sin { \cfrac { C }{ 2 }  } \cos { \cfrac { A }{ 2 }  } \cos { \cfrac { B }{ 2 }  }  \right) \\ =\left( 4R\sin { \cfrac { A }{ 2 }  } \left( \cos { \cfrac { B }{ 2 }  } \cos { \cfrac { C }{ 2 }  } -\sin { \cfrac { B }{ 2 }  } \sin { \cfrac { C }{ 2 }  }  \right)  \right) \left( 4R\cos { \cfrac { A }{ 2 }  } \left( \sin { \cfrac { B }{ 2 }  } \cos { \cfrac { C }{ 2 }  } +\sin { \cfrac { C }{ 2 }  } \cos { \cfrac { B }{ 2 }  }  \right)  \right) \\ =\left( 4R\sin { \cfrac { A }{ 2 }  } \left( \cos { \cfrac { B+C }{ 2 }  }  \right)  \right) \left( 4R\cos { \cfrac { A }{ 2 }  } \left( \sin { \cfrac { B+C }{ 2 }  }  \right)  \right) \\ =4R\sin ^{ 2 }{ \cfrac { A }{ 2 }  } \cos ^{ 2 }{ \cfrac { A }{ 2 }  } \cdot 4{ R }^{ 2 }{ \left( 2\sin { \cfrac { A }{ 2 }  } \cos { \cfrac { A }{ 2 }  }  \right)  }^{ 2 }=4{ R }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ A } ={ \left( 2R\sin { A }  \right)  }^{ 2 }={ a }^{ 2 }$$

Mathematics

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