Question

Solve: $\frac{x-a}{x-b}+\frac{x-b}{x-a}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Answer 1

$\frac{x-a}{x-b}+\frac{x-b}{x-a}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

$\frac{(x-a{)}^2+(x-b)}{(x-a)(x-b)}=\frac{a^2+b^2}{ab}$

$\Rightarrow ab[x^2+a^2-2xa+x^2+b^2-2xb]=(a^2+b^2)[x^2-x(a+b)+ab]$

$\Rightarrow ab[2x^2+a^2+b^2-2x(a+b\left)\right]=(a^2+b^2)[x^2-x(a+b)+ab]$

$\Rightarrow 2ab{x}^2-2x(a+b)ab+ab(a^2+b^2)=(a^2+b)x^2-x(a+b)(a^2+b^2)+ab(a^2+b^2)$

$\Rightarrow x^2(a^2+b^2-2ab)-x(a+b)(a^2+b^2)+2(a+b)abx=0$

$\Rightarrow x^2(a-b{)}^2-x(a+b\left)\right[a^2+b^2-2a{b}^2]=0$

$\Rightarrow x^2(a-b{)}^2-x(a+b\left)\right[a-b{]}^2=0$

$\Rightarrow x^2-x(a+b)=0$

$\Rightarrow x(x-(a+b\left)\right)=0$

$x=0,a+b$