Question

State which of the following are surds. Justify.

(i) $\sqrt[3]{7}$

(ii) $\sqrt[4]{0.16}$

(iii) $\sqrt[]{\sqrt[3]{8}}$

(iv) $\sqrt{-5}$

(v) $\frac{1}{\sqrt{15}}$

(vi) $\sqrt{0.333}$

(vii) $\sqrt{576}$

(viii) $\sqrt{\frac{5}{4}}$

(ix) $\sqrt{\frac{22}{7}}$

(x) $\sqrt[3]{2+\sqrt{9}}$

Answer 1

$\sqrt[n]{a}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}\mathrm{if}\text{'}n\text{'}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\left(n\ne 1\right)\mathrm{and}\text{'}a\text{'}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}.$

(i) $$\begin{gathered} \sqrt[3]{7}:\mathit{\text{H}}\mathrm{ere},3\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}7\mathrm{is}a\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(ii) $$\begin{gathered} \sqrt[4]{0.16}:\text{H}\mathrm{ere},4\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}0.16\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(iii)
$$\begin{gathered} \sqrt[3]{\sqrt{8}}=\sqrt[6]{8} \\ \sqrt[6]{8}:\text{H}\mathrm{ere},6\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}8\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(iv) $$\begin{gathered} \sqrt[]{-5}:\text{H}\mathrm{ere},-5\mathrm{is}\mathrm{not}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(v)

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{1}{15}} \\ \text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}\frac{1}{15}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(vi)

$$\begin{gathered} \sqrt[]{0.333}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}0.333\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(vii)

$$\begin{gathered} \sqrt{576}=24\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(viii)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{5}{4}}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}\frac{5}{4}\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(ix)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{22}{7}}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}\frac{22}{7}\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(x)

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{2+\sqrt{9}}=\sqrt[3]{2+3}=\sqrt[3]{5} \\ \sqrt[3]{5}:\text{H}\mathrm{ere}3\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}5\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$