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Question

$${\text{Evaluate : }}\mathop {{\text{lim }}}\limits_{x \to
\infty } {\left( {\dfrac{{2{x^2} - 1}}{{2{x^2} + 3}}} \right)^{4{x^2} + 2}}$$



A
e8
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B
e4
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C
0
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D
1
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Solution

The correct option is A $$e^{-8}$$
Given :$$\displaystyle\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { \left( \cfrac { 2{ x }^{ 2 }-1 }{ 2{ x }^{ 2 }+3 }  \right)  }^{ 4{ x }^{ 2 }+2 } } =l$$ (say)

Taking $$\log _{ e } $$ on both sides,
$$\displaystyle \ln { \left( l \right)  } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \left( 4{ x }^{ 2 }+2 \right) .\ln { \left( \cfrac { 2{ x }^{ 2 }-1 }{ 2{ x }^{ 2 }+3 }  \right)  }  } $$

$$\displaystyle\ln { \left( l \right)  } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \left( 4{ x }^{ 2 }+2 \right) \ln { \left( \cfrac { 2-\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  }{ 2+\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 } }  }  \right)  }  } $$

$$\displaystyle\ln { \left( l \right)  } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \cfrac { \ln { \left( \cfrac { 2-\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  }{ 2+\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 } }  }  \right)  }  }{ 1/\left( 4{ x }^{ 2 }+2 \right)  }  } $$

$$\displaystyle \ln { \left( l \right)  } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \cfrac { \left( \cfrac { 2+\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 } }  }{ 2-\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  }  \right) .\left[ \cfrac { +\cfrac { 2 }{ { x }^{ 3 } }  }{ \left( 2+\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 } }  \right)  } +\cfrac { \left( 2-\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  \right) \left( \cfrac { 6 }{ { x }^{ 3 } }  \right)  }{ { \left( 2+\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 } }  \right)  }^{ 2 } }  \right]  }{ \cfrac { -8x }{ { \left( 4{ x }^{ 2 }+2 \right)  }^{ 2 } }  }  } $$ [L-Hospital Rule]

$$\displaystyle \ln { \left( l \right)  } =\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \cfrac { \left( \cfrac { 2+\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 } }  }{ 2-\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  }  \right) .\cfrac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \left[ \cfrac { 2 }{ \left( 2+\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 } }  \right)  } +\cfrac { { \left( 2-\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  \right)  }{ 6 } }{ { \left( 2+\cfrac { 3 }{ { x }^{ 2 } }  \right)  }^{ 2 } }  \right]  }{ \cfrac { 1 }{ { x }^{ 3 } } .\cfrac { -8 }{ { \left( 4+\cfrac { { 2 } }{ { x }^{ 4 } }  \right)  }^{ 2 } }  }  } $$

$$\ln { \left( l \right)  } =\cfrac { \left( \cfrac { 2 }{ 2 }  \right) .\left[ \left( \cfrac { 2 }{ 2 }  \right) +\cfrac { 12 }{ 4 }  \right]  }{ \cfrac { -8 }{ 16 }  }  =-8$$

$$\Rightarrow \ln { \left( l \right)  } =-8$$

$$\Rightarrow l={ e }^{ -8 }$$

Maths

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