Question

$\mathrm{The}\int \left(\frac{\mathrm{cosx}}{x}-\log x^{\mathrm{sinx}}\right)\mathrm{dx}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}$.

• A. $\mathrm{cosx}\mathrm{logx}+C$
• B. $\mathrm{sinx}\mathrm{logx}+C$
• C. $\frac{\mathrm{cosx}}{\log x}+C$

Answer 1

The correct option is A $\mathrm{cosx}\mathrm{logx}+C$

The given integral $I=\int \left(\frac{\mathrm{cosx}}{x}-\log x^{\mathrm{sinx}}\right)\mathrm{dx}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{simplified}\mathrm{as}:I=\int \left(\frac{\mathrm{cosx}}{x}-\mathrm{sinx}\log x\right)\mathrm{dx}\Rightarrow I=\int \frac{\mathrm{cosx}}{x}\mathrm{dx}-\int \mathrm{sinx}\log \mathrm{xdx}\mathrm{Now},\mathrm{using}\mathrm{integration}\mathrm{by}\mathrm{parts}\mathrm{for}\mathrm{first}\mathrm{integral},\mathrm{we}\mathrm{get}:I=\int \frac{\mathrm{cosx}}{x}\mathrm{dx}-\int \mathrm{sinx}\log \mathrm{xdx}\Rightarrow I=\mathrm{cosx}\int \frac{1}{x}\mathrm{dx}-\int \frac{d\mathrm{cosx}}{\mathrm{dx}}\left(\int \frac{1}{x}\mathrm{dx}\right)\mathrm{dx}-\int \mathrm{sinx}\log \mathrm{xdx}+C\Rightarrow I=\mathrm{cosx}\log \left(x\right|\mathrm{dx}+\int \mathrm{sinx}\log \mathrm{xdx}-\int \mathrm{sinx}\log \mathrm{xdx}+C\mathrm{Thus},\mathrm{cancelling}\mathrm{second}\mathrm{and}\mathrm{third}\mathrm{term},\mathrm{we}\mathrm{get}I=\mathrm{cosx}\log x+C$