Question

The difference of squares of two natural numbersis 45.The square of the smaller number is four times the larger number.Find the numbers

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{smaller}\mathrm{number}=\mathrm{x} \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{bigger}\mathrm{number}=\mathrm{y} \\ \mathrm{Now},\mathrm{according}\mathrm{to}\mathrm{first}\mathrm{condition}: \\ {\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2=45.....\left(1\right) \\ \mathrm{According}\mathrm{to}\mathrm{second}\mathrm{condition}: \\ {\mathrm{x}}^2=4\mathrm{y}.....\left(2\right) \\ \mathrm{Put}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}{\mathrm{x}}^2\mathrm{from}\left(2\right)\mathrm{in}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ {\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}-45=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{y}}^2-9\mathrm{y}+5\mathrm{y}-45=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}\left(\mathrm{y}-9\right)+5\left(\mathrm{y}-9\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\mathrm{y}+5\right)\left(\mathrm{y}-9\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=-5\mathrm{or}\mathrm{y}=9 \\ \mathrm{When}\mathrm{y}=-5 \\ \mathrm{Then}{\mathrm{x}}^2=-20\Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{-20} \\ \mathrm{So},\mathrm{in}\mathrm{this}\mathrm{case}\mathrm{we}\mathrm{don}\mathrm{not}\mathrm{get}\mathrm{any}\mathrm{real}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{x}. \\ \mathrm{So},\mathrm{y}=-5\mathrm{is}\mathrm{rejected}. \\ \mathrm{When}\mathrm{y}=9 \\ \mathrm{Then}{\mathrm{x}}^2=4\times 9 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2=36 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\pm 6 \\ \mathrm{So},\mathrm{the}\mathrm{numbers}\mathrm{are}:9\mathrm{and}6\mathrm{or}9\mathrm{and}-6 \end{gathered}$$