Question

The inside perimeter of a running track (shown in Fig. 20.24) is 400 m. The length of each of the straight portion is 90 m and the ends are semi-circles. If track is everywhere 14 m wide, find the area of the track. Also, find the length of the outer running track.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{inside}\mathrm{perimeter}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{running}\mathrm{track}\mathrm{is}400\mathrm{m}.\mathrm{It}\mathrm{means}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inner}\mathrm{track}\mathrm{is}400\mathrm{m}. \\ \mathrm{Let}\mathrm{r}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inner}\mathrm{semicircles}. \\ \mathrm{Observe}:\mathrm{Perimeter}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inner}\mathrm{track}=\mathrm{Length}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{straight}\mathrm{portions}\mathrm{of}90\mathrm{m}+\mathrm{Length}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{semicircles} \\ \therefore 400=(2\times 90)+(2\times \mathrm{Perimiter}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{semicircle}) \\ 400=180+(2\times \frac{22}{7}\times \mathrm{r}) \\ 400-180=(\frac{44}{7}\times \mathrm{r}) \\ \frac{44}{7}\times \mathrm{r}=220 \\ \mathrm{r}=\frac{220\times 7}{44}=35\mathrm{m} \\ \therefore \mathrm{Width}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inner}\mathrm{track}=2\mathrm{r}=2\times 35=70\mathrm{m} \\ \mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{track}\mathrm{is}14\mathrm{m}\mathrm{wide}\mathrm{at}\mathrm{all}\mathrm{places},\mathrm{so}\mathrm{the}\mathrm{width}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{outer}\mathrm{track}:70+(2\times 14)=98\mathrm{m} \\ \therefore \mathrm{Radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{outer}\mathrm{track}\mathrm{semicircles}=\frac{98}{2}=49\mathrm{m} \\ \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{outer}\mathrm{track}=(\mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rectangular}\mathrm{portion}\mathrm{with}\mathrm{sides}90\mathrm{m}\mathrm{and}98\mathrm{m})+(2\times \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{semicircles}\mathrm{with}\mathrm{radius}49\mathrm{m}) \\ =(98\times 90)+(2\times \frac{1}{2}\times \frac{22}{7}\times {49}^2) \\ =\left(8820\right)+\left(7546\right) \\ =16366{\mathrm{m}}^2 \\ \mathrm{And},\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inner}\mathrm{track}=(\mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rectangular}\mathrm{portion}\mathrm{with}\mathrm{sides}90\mathrm{m}\mathrm{and}70\mathrm{m})+(2\times \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{semicircle}\mathrm{with}\mathrm{radius}35\mathrm{m}\text{)} \\ =(70\times 90)+(2\times \frac{1}{2}\times \frac{22}{7}\times {35}^2) \\ =(6300)+(3850) \\ =10150{\mathrm{m}}^2 \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{running}\mathrm{track}=\mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{outer}\mathrm{track}-\mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inner}\mathrm{track} \\ =16366-10150 \\ =6216{\mathrm{m}}^2 \\ \mathrm{And},\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{outer}\mathrm{track}=(2\times \mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{straight}\mathrm{portion})+(2\times \mathrm{perimeter}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{semicircles}\mathrm{with}\mathrm{radius}49\mathrm{m}\mathrm{)} \\ =(2\times 90)+(2\times \frac{22}{7}\times 49) \\ =180+308 \\ =488\mathrm{m} \end{gathered}$$