Question

The number of ordered pairs (x,y) of positive integers satisfying the equation 1/x + 1/y = 1/20 is

Answer 1

$$\begin{gathered} \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{20}(\mathrm{x},\mathrm{y}\ne 0) \\ \frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{1}{20}-\frac{1}{\mathrm{y}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{y}-20}{20\mathrm{y}} \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{20\mathrm{y}}{\mathrm{y}-20} \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{for}\mathrm{x}\mathrm{to}\mathrm{be}\mathrm{positive},\mathrm{y}>20 \\ \mathrm{Starting}\mathrm{with}\mathrm{y}=21 \\ \mathrm{x}=20\left(21\right)=420 \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=22 \\ \mathrm{x}=10\left(22\right)=220 \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=23,\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{integer} \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=24,\mathrm{x}=5\left(24\right)=120 \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=25,\mathrm{x}=\left(4\right)25=100 \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=26,27,29\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{integer} \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=28,\mathrm{x}=70 \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=30,\mathrm{x}=60 \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=31,32,33,34,35\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{integer} \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=36,\mathrm{x}=45 \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=37,38,39\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{integer} \\ \mathrm{for}\mathrm{y}=40,\mathrm{x}=40 \\ \mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{equation}\mathrm{is}\mathrm{symmetric}\mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}\mathrm{x}\mathrm{and}\mathrm{y},\mathrm{the}\mathrm{reverse}\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{true}\mathrm{if}\mathrm{we}\mathrm{start}\mathrm{with}\mathrm{assuming}\mathrm{x}(\mathrm{as}\mathrm{we}\mathrm{did}\mathrm{for}\mathrm{y}) \\ \mathrm{So}\mathrm{possible}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{x}(\mathrm{or}\mathrm{y})\mathrm{are}=21,22,24,25,28,30,36,40,45,60,70,100,120,220,420 \\ \mathrm{so}\mathrm{total}\mathrm{pairs}\mathrm{possible}=15 \end{gathered}$$