Question

The value of $\sum _{r=2}^{100}\frac{3^r(2-2r)}{(r+1)(r+2)}$ is equal to?

• A. $\frac{1}{2}-\frac{3^{100}}{100\left(101\right)}$
• B. $\frac{3}{2}-\frac{3^{101}}{101\left(102\right)}$
• C. $\frac{3}{2}-\frac{3^{100}}{100\left(101\right)}$
• D. None of these

Answer 1

The correct option is B $\frac{3}{2}-\frac{3^{101}}{101\left(102\right)}$

$S=\sum _{r=2}^{100}\frac{3^r(2-2r)}{r(r+1)(r+2)}$

$S=\sum _{r=2}^{100}\frac{3^r}{r(r+2)}-\frac{3^r+1}{(r+1)(r+2)}$

$=\frac{3^2}{2\left(3\right)}-\frac{3^3}{3\times 4}+\frac{3^3}{3\times 4}-\frac{3^4}{4\times 5}+\frac{3^4}{4\times 5}+...+(\frac{3^{100}}{100\times 101}-\frac{3^{101}}{101\times 102})$

$=\frac{3^2}{2\left(3\right)}-\frac{3^{101}}{101\times 102}$

$S=\frac{3}{2}-\frac{3^{101}}{101\times 102}$