Question

Which of the following expressions are polynomials?
(i) 5x² $-$ 7x + 4

(ii) 24

(iii) 5a² + $\sqrt{a}$ + 4

(iv) $\frac{7}{8}x-4x^4+5x^3$

(v) $t^2+\sqrt{2}t-\sqrt{7}$

(vi) 3x² + $\frac{7}{x}$ $-$ 7x

(vii) x³⁸ $-$ 4

(viii) 3x ^-2 + x ^-1 + 5

(ix) $y^{\frac{2}{3}}+7y-8$

(x) $5\sqrt{x^3}-1$

Answer 1

$\left(\mathrm{i}\right)5x^2-7x+4\mathrm{is}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{variable}x\mathrm{are}\mathrm{positive}\mathrm{integers}.$

$\left(\mathrm{ii}\right)24\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{nonzero}\mathrm{constant}\mathrm{and}\mathrm{every}\mathrm{nonzero}\mathrm{constant}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression}.\mathrm{Therefore},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression}.$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{iii}\right)\mathrm{We}\mathrm{have}5a^2+\sqrt{a}+4=5a^2+a^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}+4 \\ 5a^2+\sqrt{a}+4\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{one}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{variable}a\mathrm{is}\frac{1}{2},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{integer}. \end{gathered}$$

$\left(\mathrm{iv}\right)\frac{7}{8}x-4x^4+5x^3\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{variable}x\mathrm{are}\mathrm{positive}\mathrm{integers}.$

$\left(\mathrm{v}\right)t^2+\sqrt{2}t-\sqrt{7}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{variable}t\mathrm{are}\mathrm{positive}\mathrm{integers}.$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{vi}\right)\mathrm{We}\mathrm{have}3x^2+\frac{7}{x}-7x=3x^2+7x^{-1}-7x \\ 3x^2+\frac{7}{x}-7x\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{one}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{variable}x\mathrm{is}-1,\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{integer}. \end{gathered}$$

$\left(\mathrm{vii}\right)x^{38}-4\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{variable}x\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{integer}.$

$\left(\mathrm{viii}\right)3x^{-2}+x^{-1}+5\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{variable}x\mathrm{are}-2\mathrm{and}-1,\mathrm{which}\mathrm{are}\mathrm{not}\mathrm{positive}\mathrm{integer}s.$

$\left(\mathrm{ix}\right)y^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}+7y-8\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{one}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{powers}\mathrm{of}\mathrm{variable}y\mathrm{is}\frac{2}{3},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{integer}.$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{We}\mathrm{have}\sqrt[5]{x^3}-1=x^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.}-1 \\ \sqrt[5]{x^3}-1\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{expression},\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{power}\mathrm{of}\mathrm{variable}x\mathrm{is}\frac{3}{5},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{integer}. \end{gathered}$$