Question

Show that $3{\tan }^{-1}\mathrm{x}=\frac{{\tan }^{-1}(3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3)}{(1-3{\mathrm{x}}^2)}$

Answer 1

To prove: $3{\tan }^{-1}\mathrm{x}=\frac{{\tan }^{-1}(3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3)}{(1-3{\mathrm{x}}^2)}$

Let $\mathrm{x}=\mathrm{tanA}$

⇒${\tan }^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{A}$

$\mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}=$$\frac{{\tan }^{-1}(3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3)}{(1-3{\mathrm{x}}^2)}$

$=$$\frac{{\tan }^{-1}(3\mathrm{tanA}-{\mathrm{tanA}}^3)}{(1-3{\mathrm{tanA}}^2)}$

$=$${\tan }^{-1}\left(\tan 3\mathrm{A}\right)$ [Identity used: $\frac{{\tan }^{-1}(3\mathrm{tan\theta }-{\mathrm{tan\theta }}^3)}{(1-3{\mathrm{tan\theta }}^2)}$]

$=$ $3\mathrm{A}$

$=$$3{\tan }^{-1}\mathrm{A}$

From above it is clear that $\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}=\mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}$

Thus,$3{\tan }^{-1}\mathrm{x}=\frac{{\tan }^{-1}(3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3)}{(1-3{\mathrm{x}}^2)}$