Question

If $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$ is defined by $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left[\mathrm{x}-3\right]+\left[\mathrm{x}-4\right]$ for $\mathrm{x}\in \mathrm{R}$, then $\underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=$

• A. $-2$
• B. $-1$
• C. $0$
• D. $1$

Answer 1

The correct option is C

$0$

Explanation for the correct answer:

Step 1: Finding the value of a lower limit

Given function: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left[\mathrm{x}-3\right]+\left[\mathrm{x}-4\right]$

Therefore, $\underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\left[\mathrm{x}-3\right]+\underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\left[\mathrm{x}-4\right]$

Step 2: Replace, $\mathit{x}\mathbf{}\mathbf{by}\mathbf{}\mathit{h}\mathit{-}\mathit{3}$

$\begin{array}{rcl}& \Rightarrow & \underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left[3-\mathrm{h}-3\right]+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left[3-\mathrm{h}-4\right]\\ & \Rightarrow & \underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left[-\mathrm{h}\right]+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }\left[-1-\mathrm{h}\right]\\ & \Rightarrow & \underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }-1+\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim }(1+\mathrm{h})\left[\because \mathrm{greater}\mathrm{integer}\mathrm{function}\mathrm{of}\left[-\mathrm{h}\right]=1,\left[-1-\mathrm{h}\right]=(1+\mathrm{h})\right]\\ & \Rightarrow & \underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-1+1\\ & \Rightarrow & \underset{\mathrm{x}\to 3^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\end{array}$

Hence, the correct answer is an option (C).