Question

If $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$ and $\mathrm{g}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$ be two given functions, then 2 min $\left\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),0\right\}$ equals

• A. $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|$
• B. $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|$
• C. $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|$
• D. $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|$

Answer 1

The correct option is D

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|$

Explanation for the correct answer:

Step 1: Case 1, when $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

Let $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=2\min \left\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),0\right\}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)>0 \\ \Rightarrow 2\min \left\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),0\right\}=0 \end{gathered}$$

Therefore, $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=0$

Step 2: Case 2, when $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)<0 \\ \Rightarrow 2\min \left\{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),0\right\}=2\min \left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x})-\mathrm{g}(\mathrm{x}\left)\right) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=2\left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x})-\mathrm{g}(\mathrm{x}\left)\right)$

Therefore, $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|$

Hence, the correct answer is option (D).