Question

$\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{m}}{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$is equal to?

• A. ${}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}+1}\mathrm{C}_{\mathrm{n}+1}$
• B. ${}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}+2}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$
• C. ${}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}+3}\mathrm{C}_{\mathrm{n}-1}$
• D. None of these

Answer 1

The correct option is A

${}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}+1}\mathrm{C}_{\mathrm{n}+1}$

Explanation for the correct answer:

Finding the value of the given expression:

Given that, $\sum _{r=0}^{\mathrm{m}}{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$

$$\begin{gathered} \sum _{r=0}^{\mathrm{m}}{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}=\sum _{r=0}^{\mathrm{m}}{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}\mathrm{C}_{\mathrm{r}} \\ ={{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_0{+{}^{n+1}C}_1+{{}^{\mathrm{n}+2}\mathrm{C}}_2+..........+{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}} \\ =\frac{n!}{0!\left(n-0\right)!}+\frac{\left(n+1\right)!}{1!\left(n+1-1\right)!}+{{}^{\mathrm{n}+2}\mathrm{C}}_2+..........+{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}\left[\because {{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_r={\displaystyle \frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}}\right] \\ ={\left[1+\left(\mathrm{n}+1\right)\right]+{}^{\mathrm{n}+2}\mathrm{C}}_2+{{}^{\mathrm{n}+3}\mathrm{C}}_3+..........+{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}} \\ ={\left(n+2\right)+{}^{\mathrm{n}+2}\mathrm{C}}_2+{{}^{\mathrm{n}+3}\mathrm{C}}_3+..........+{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}} \\ =\left({{}^{\mathrm{n}+2}\mathrm{C}}_1+{{}^{\mathrm{n}+2}\mathrm{C}}_2\right)+{{}^{\mathrm{n}+3}\mathrm{C}}_3+..........+{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}\left[\because {{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}\mathrm{C}}_1={\displaystyle \frac{\left(n+r\right)!}{1!\left(n+r-1\right)!}=n+r}\right] \\ ={}^{\mathrm{n}+3}\mathrm{C}_2+{}^{\mathrm{n}+3}\mathrm{C}_3+...........{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}\left[\because {{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_{r-1}+{{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_r={{}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{C}}_r\right] \\ =\left({}^{\mathrm{n}+3}\mathrm{C}_2+{}^{\mathrm{n}+3}\mathrm{C}_3\right)+...........{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}} \\ ={}^{\mathrm{n}+4}\mathrm{C}_3+{}^{\mathrm{n}+4}\mathrm{C}_4+...........{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}\left[\because {{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}+{{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}={{}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\right] \end{gathered}$$

Continuing this process We get,

$$\begin{gathered} ={{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}-1}+{{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}} \\ ={{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}+1}\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}\left[\because {{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}+{{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}={{}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\right] \\ ={{}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}+1}\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+1}\left[\because {{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}={{}^{\mathrm{n}}\mathrm{C}}_{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\right] \end{gathered}$$

Hence, the correct answer is option (A).