Question

The negation of $p\to \left(~p\vee q\right)$

• A. $p\vee \left(p\vee ~q\right)$
• B. $p\to ~\left(p\vee q\right)$
• C. $p\to q$
• D. $p\wedge ~q$

Answer 1

The correct option is D

$p\wedge ~q$

Explanation for correct option:

Option (D): $p\wedge ~q$

$p$	$q$	$~p$	$~q$	$~p\vee q$	$p\to \left(~p\vee q\right)$	$p\wedge ~q$	$~\left[p\to \left(~p\vee q\right)\right]$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$

Thus, option (D) is correct.

Explanation for incorrect options:

Option(A): $p\vee \left(p\vee ~q\right)$

$p$	$q$	$~p$	$~q$	$~p\vee q$	$p\to \left(~p\vee q\right)$	$p\vee ~q$	$p\vee \left(p\vee ~q\right)$	$~\left[p\to \left(~p\vee q\right)\right]$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$

Thus, option (A) is incorrect.

Option(B): $p\to ~\left(p\vee q\right)$

$p$	$q$	$~p$	$~q$	$~p\vee q$	$p\to \left(~p\vee q\right)$	$~\left(p\vee q\right)$	$p\to ~\left(p\vee q\right)$	$~\left[p\to \left(~p\vee q\right)\right]$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$T$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$

Thus, option (B) is incorrect.

Option(C): $p\to q$

$p$	$q$	$~p$	$~q$	$~p\vee q$	$p\to \left(~p\vee q\right)$	$p\to q$	$~\left[p\to \left(~p\vee q\right)\right]$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$

Thus, option (C) is incorrect.

Hence option (D) is correct.