Question

1.2 + 2.2² + 3.2³ + ... + n.2ⁿ = (n − 1) 2ⁿ⁺¹+2

Answer 1

Let P(n) be the given statement.
Now,
$$\begin{gathered} P\left(n\right)=1.2+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n=(n-1)2^{n+1}+2 \\ \mathrm{Step}1: \\ P\left(1\right)=1.2=2=(1-1)2^{1+1}+2 \\ \mathrm{Thus},P\left(1\right)\mathrm{is}\mathrm{true}. \\ \mathrm{Step}2: \\ LetP\left(m\right)betrue. \\ \mathrm{Then}, \\ 1.2+2.2^2+...+m.2^m=(m-1)2^{m+1}+2 \\ To\mathrm{prove}:P(m+1)\mathrm{is}\mathrm{true}. \\ Thatis, \\ 1.2+2.2^2+...+(m+1)2^{m+1}=m.2^{m+2}+2 \\ \mathrm{Now}, \\ P\left(m\right)=1.2+2.2^2+...+m.2^m=(m-1)2^{m+1}+2 \\ \Rightarrow 1.2+2.2^2+...+m.2^m+(m+1).2^{m+1}=(m-1)2^{m+1}+2+(m+1).2^{m+1}\left[\mathrm{Adding}(m+1).2^{m+1}\mathrm{to}\mathrm{both}\mathrm{sides}\right] \\ \Rightarrow P(m+1)=2m.2^{m+1}+2=m.2^{m+2}+2 \\ \mathrm{Thus},P(m+1)\mathrm{is}\mathrm{true}. \\ Bythep\mathrm{rinciple}\mathrm{of}m\mathrm{athematical}i\mathrm{nduction},P\left(n\right)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{all}n\in N. \end{gathered}$$