Using the property,
|z1±z2|2=|z1|2+|z2|2±2Re(z1¯z2)
∴|az1−bz2|2+|bz1+az2|2
=|az1|2+|bz2|2−2Re(az1× b¯z2)+
|bz1|2+|az2|2+2Re(bz1× a¯z2)
=|az1|2+|bz2|2−2Re(abz1¯z2)+
|bz1|2+|az2|2−2Re(abz1¯z2)
=(a2+b2)|z1|2+(a2+b2)|z2|2
=(a2+b2)(|z1|2+|z2|2)
Hence,
|az1−bz2|2+|bz1+az2|2=(a2+b2)(|z1|2+|z2|2)