Question

# $\frac{1}{\mathrm{tan}3\mathrm{A}-\mathrm{tan}\mathrm{A}}-\frac{1}{\mathrm{cot}3\mathrm{A}-\mathrm{cot}\mathrm{A}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}$. Find the value of $K$.

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Solution

## Find the value of $K$.It is given that $\frac{1}{\mathrm{tan}3\mathrm{A}-\mathrm{tan}\mathrm{A}}-\frac{1}{\mathrm{cot}3\mathrm{A}-\mathrm{cot}\mathrm{A}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{1}{\frac{\mathrm{sin}3\mathrm{A}}{\mathrm{cos}3\mathrm{A}}-\frac{\mathrm{sin}\mathrm{A}}{\mathrm{cos}\mathrm{A}}}-\frac{1}{\frac{\mathrm{cos}3\mathrm{A}}{\mathrm{sin}3\mathrm{A}}-\frac{\mathrm{cos}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}\mathrm{A}}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\left[\begin{array}{c}\because \mathrm{tan}\mathrm{A}=\frac{\mathrm{sin}\mathrm{A}}{\mathrm{cos}\mathrm{A}},\\ \mathrm{cot}\mathrm{A}=\frac{\mathrm{cos}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}\mathrm{A}}\end{array}\right]\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{1}{\frac{\mathrm{sin}3\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{A}-\mathrm{sin}\mathrm{A}\mathrm{cos}3\mathrm{A}}{\mathrm{cos}3\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{A}}}-\frac{1}{\frac{\mathrm{cos}3\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{A}-\mathrm{cos}\mathrm{A}\mathrm{sin}3\mathrm{A}}{\mathrm{sin}3\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{A}}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{\mathrm{cos}3\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}3\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{A}-\mathrm{sin}\mathrm{A}\mathrm{cos}3\mathrm{A}}-\frac{\mathrm{sin}3\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{A}}{\mathrm{cos}3\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{A}-\mathrm{cos}\mathrm{A}\mathrm{sin}3\mathrm{A}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{\mathrm{cos}3\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}\left(3\mathrm{A}-\mathrm{A}\right)}-\frac{\mathrm{sin}3\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{A}-3\mathrm{A}\right)}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\left[\because \mathrm{sin}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\mathrm{sin}\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{B}-\mathrm{sin}\mathrm{B}\mathrm{cos}\mathrm{A}\right]\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{\mathrm{cos}3\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}2\mathrm{A}}-\frac{\mathrm{sin}3\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}\left(-2\mathrm{A}\right)}=\mathrm{K}\mathrm{cot}2\mathrm{A}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{\mathrm{cos}3\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}2\mathrm{A}}+\frac{\mathrm{sin}3\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}2\mathrm{A}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\left[\because \mathrm{sin}\left(-\mathrm{A}\right)=-\mathrm{sin}\left(\mathrm{A}\right)\right]\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{\mathrm{cos}3\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{A}+\mathrm{sin}3\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{A}}{\mathrm{sin}2\mathrm{A}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{\mathrm{cos}\left(3\mathrm{A}-\mathrm{A}\right)}{\mathrm{sin}2\mathrm{A}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\left[\because \mathrm{cos}\left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right)=\mathrm{cos}\mathrm{A}\mathrm{cos}\mathrm{B}-\mathrm{sin}\mathrm{A}\mathrm{sin}\mathrm{B}\right]\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\frac{\mathrm{cos}2\mathrm{A}}{\mathrm{sin}2\mathrm{A}}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒\mathrm{cot}2\mathrm{A}=K\mathrm{cot}2\mathrm{A}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}⇒K=\frac{\mathrm{cot}2\mathrm{A}}{\mathrm{cot}2\mathrm{A}}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}\therefore K=1$Hence, the value of $K$ is $1$.

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