Question

10th

10. Find the range of values of 'a' if the roots of the equation x²+a²=8x+6a are real.

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{a}}^2=8\mathrm{x}+6\mathrm{a} \\ {\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+{\mathrm{a}}^2-6\mathrm{a}=0 \\ \mathrm{since}\mathrm{the}\mathrm{roots}\mathrm{of}\mathrm{this}\mathrm{equation}\mathrm{are}\mathrm{real},\mathrm{the}\mathrm{discriminant}\mathrm{of}\mathrm{this}\mathrm{equation}\mathrm{must}\mathrm{be}\ge 0 \\ \mathrm{D}={\mathrm{B}}^2-4\mathrm{AC} \\ {\left(-8\right)}^2-4\left(1\right)\left({\mathrm{a}}^2-6\mathrm{a}\right)\ge 0 \\ 64-4{\mathrm{a}}^2+24\mathrm{a}\ge 0 \\ 4{\mathrm{a}}^2-24\mathrm{a}-64\le 0 \\ {\mathrm{a}}^2-6\mathrm{a}-16\le 0 \\ {\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}-8\mathrm{a}-16\le 0 \\ \mathrm{a}(\mathrm{a}+2)-8(\mathrm{a}+2)\le 0 \\ (\mathrm{a}-8)(\mathrm{a}+2)\le 0 \\ \mathrm{Hence}\mathrm{for}(\mathrm{a}-8)(\mathrm{a}+2)\le 0,\mathrm{a}\mathrm{should}\mathrm{belong}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{interval}\left[-2,8\right] \end{gathered}$$
Regards