Question

17) Verify the mean value theorem for the functions f(x)=x^3-5x^2-3x in the given interval [1,3]

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{As}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \\ \mathrm{As}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-5{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x} \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial},\mathrm{So}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}\left[1,3\right]\mathrm{and}\mathrm{derivative}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval} \\ \left(1,3\right) \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-5{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=3{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}-3 \\ \mathrm{Let}\mathrm{a}=1\mathrm{and}\mathrm{b}=3 \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=3{\mathrm{c}}^2-10\mathrm{c}-3 \\ \mathrm{f}\left(1\right)={\left(1\right)}^3-5{\left(1\right)}^2-3\left(1\right) \\ =1-5-3 \\ =-7 \\ \mathrm{f}\left(3\right)={\left(3\right)}^3-5{\left(3\right)}^2-3\left(3\right) \\ =27-45-9 \\ =-27 \\ \mathrm{By}\mathrm{mean}\mathrm{value}\mathrm{theorem}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \\ 3{\mathrm{c}}^2-10\mathrm{c}-3=\frac{-27-\left(-7\right)}{3-1} \\ =\frac{-20}{2} \\ =-10 \\ 3{\mathrm{c}}^2-10\mathrm{c}-3=-10 \\ 3{\mathrm{c}}^2-10\mathrm{c}-3+10=0 \\ 3{\mathrm{c}}^2-10\mathrm{c}+7=0 \\ 3{\mathrm{c}}^2-7\mathrm{c}-3\mathrm{c}+7=0 \\ 3{\mathrm{c}}^2-3\mathrm{c}-7\mathrm{c}+7=0 \\ 3\mathrm{c}\left(\mathrm{c}-1\right)-7\left(\mathrm{c}-1\right)=0 \\ \left(3\mathrm{c}-7\right)\left(\mathrm{c}-1\right)=0 \\ \mathrm{c}=\frac{7}{3}\mathrm{or}\mathrm{c}=1 \end{gathered}$$
Regards