Question

18) A two - digit number is seven times the sum of its digits and is also equal to 12 less than three times the product of its digits. Find the number.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{digit}\mathrm{at}\mathrm{units}\mathrm{place}=\mathrm{x} \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{digit}\mathrm{at}\mathrm{tens}\mathrm{place}=\mathrm{y} \\ \mathrm{Now},\mathrm{original}\mathrm{number}=10\mathrm{y}+\mathrm{x} \\ \mathrm{Now},\mathrm{according}\mathrm{to}\mathrm{first}\mathrm{condition}: \\ 10\mathrm{y}+\mathrm{x}=7\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ \Rightarrow 10\mathrm{y}+\mathrm{x}=7\mathrm{x}+7\mathrm{y} \\ \Rightarrow 3\mathrm{y}=6\mathrm{x} \\ \Rightarrow \mathrm{y}=2\mathrm{x}....\left(1\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{according}\mathrm{to}\mathrm{second}\mathrm{condition}: \\ 10\mathrm{y}+\mathrm{x}=3\mathrm{xy}-12 \\ \Rightarrow 10\times 2\mathrm{x}+\mathrm{x}=3\mathrm{x}\times 2\mathrm{x}-12\left[\mathrm{Using}\left(1\right)\right] \\ \Rightarrow 21\mathrm{x}=6{\mathrm{x}}^2-12 \\ \Rightarrow 6{\mathrm{x}}^2-21\mathrm{x}-12=0 \\ \Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}-4=0 \\ \Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+\mathrm{x}-4=0 \\ \Rightarrow 2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-4\right)+1\left(\mathrm{x}-4\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\mathrm{x}-4\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=4\mathrm{or}\mathrm{x}=-\frac{1}{2}\left(\mathrm{rejected}\right) \\ \mathrm{So},\mathrm{y}=2\mathrm{x}=2\times 4=8 \\ \mathrm{Now},\mathrm{original}\mathrm{number}=10\times 8+4=84 \end{gathered}$$