Question

25)b) Derive an expression for safe velocity of negotiating a curve by a body in a banked curve with frictional coefficient (mew)

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{forces}\mathrm{acting}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{body}\mathrm{while}\mathrm{negotiating}\mathrm{the}\mathrm{curve}: \\ \left(1\right)\mathrm{Normal}\mathrm{force}\left(\mathrm{N}\right)--\mathrm{Perpendicular}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{plane} \\ \mathrm{Component}\mathrm{along}\mathrm{x}-\mathrm{axis}:\mathrm{N}\mathrm{cos\theta } \\ \mathrm{Component}\mathrm{along}\mathrm{y}-\mathrm{axis}:\mathrm{N}\mathrm{sin\theta } \\ \left(2\right)\mathrm{Centripetal}\mathrm{force}\left({\mathrm{F}}_{\mathrm{net}}\right)=\frac{{\mathrm{mv}}^2}{\mathrm{r}}--\mathrm{towards}\mathrm{the}\mathrm{centre}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{curve}\left(\mathrm{horizontal}\right) \\ \left(3\right)\mathrm{Frictional}\mathrm{force}\left(\mathrm{f}\right)={\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{N}--\mathrm{along}\mathrm{the}\mathrm{plane}\mathrm{in}\mathrm{downward}\mathrm{direction} \\ \mathrm{Component}\mathrm{along}\mathrm{x}-\mathrm{axis}:{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{N}\mathrm{cos\theta } \\ \mathrm{Component}\mathrm{along}\mathrm{y}-\mathrm{axis}:{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{N}\mathrm{sin\theta } \\ \left(4\right)\mathrm{Weight}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{body}=\mathrm{mg}--\mathrm{vertically}\mathrm{downward}\mathrm{direction} \\ \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{forces}\mathrm{along}\mathrm{x}-\mathrm{axis}: \\ \sum {\mathrm{F}}_{\mathrm{x}}=\frac{{\mathrm{mv}}^2}{\mathrm{r}} \\ \mathrm{N}\mathrm{sin\theta }+{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{Ncos\theta }=\frac{{\mathrm{mv}}^2}{\mathrm{r}} \\ \mathrm{N}\left(\mathrm{sin\theta }+{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{cos\theta }\right)=\frac{{\mathrm{mv}}^2}{\mathrm{r}}......\left(1\right) \\ \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{forces}\mathrm{along}\mathrm{x}-\mathrm{axis}: \\ \sum {\mathrm{F}}_{\mathrm{y}}=0 \\ \mathrm{N}\mathrm{cos\theta }-{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{N}\mathrm{sin\theta }-\mathrm{mg}=0 \\ \mathrm{N}\left(\mathrm{cos\theta }-{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{sin\theta }\right)=\mathrm{mg}......\left(2\right) \\ \mathrm{Divide}\left(1\right)\mathrm{with}\left(2\right): \\ \frac{\mathrm{sin\theta }+{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{cos\theta }}{\mathrm{cos\theta }-{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}\mathrm{sin\theta }}=\frac{{\mathrm{v}}^2}{\mathrm{rg}} \\ \mathbf{v}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{rg}\left(\frac{\mathbf{sin\theta }\mathbf{+}{\mathbf{\mu }}_{\mathbf{s}}\mathbf{}\mathbf{cos\theta }}{\mathbf{cos\theta }\mathbf{-}{\mathbf{\mu }}_{\mathbf{s}}\mathbf{}\mathbf{sin\theta }}\right)} \\ \mathrm{where} \\ {\mathrm{\mu }}_{\mathrm{s}}=\mathrm{Coefficient}\mathrm{of}\mathrm{static}\mathrm{friction} \\ \mathrm{\theta }=\mathrm{Angle}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{banking} \end{gathered}$$