Question

4. If a, b, c are in GP and 4a, 5b, 4c are in AP such that a + b + c = 70, then value of $a^3+b^3+c^{3}is$
1. 8000 2. 73000 3. 56000 4. 133000

Answer 1

Dear student


$$\begin{gathered} \mathrm{Given}: \\ 1)\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\mathrm{are}\mathrm{in}\mathrm{G}.\mathrm{P} \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}\boxed{\mathbf{}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{ac}\mathbf{}}...(1\left) \\ 2\right)4\mathrm{a},5\mathrm{b},4\mathrm{c}\mathrm{are}\mathrm{in}\mathrm{A}.\mathrm{P} \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}10\mathrm{b}=4\mathrm{a}+4\mathrm{c} \\ \boxed{\mathbf{5}\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{)}}.....\left(2\right) \\ 3)\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=70 \\ \Rightarrow \frac{5\mathrm{b}}{2}+\mathrm{b}=70 \\ \Rightarrow \frac{5\mathrm{b}+2\mathrm{b}}{2}=70 \\ \Rightarrow 7\mathrm{b}=140 \\ \Rightarrow \boxed{\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{20}\mathbf{}}....(3) \\ \mathrm{Put}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{b}=20\mathrm{in}(2),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 5(20)=2(\mathrm{a}+\mathrm{c}) \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{c}=50 \\ \Rightarrow \mathrm{a}=50-\mathrm{c} \\ \mathrm{Put}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{and}\mathrm{b}\mathrm{in}(1),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ {20}^2=(50-\mathrm{c})\mathrm{c} \\ \Rightarrow 400=50\mathrm{c}-{\mathrm{c}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{c}}^2-50\mathrm{c}+400=0 \\ \Rightarrow (\mathrm{c}-10\left)\right(\mathrm{c}-40)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{c}=10\mathrm{and}\mathrm{c}=40 \\ \mathbf{When}\mathbf{}\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{}\mathbf{then}\mathbf{}\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{40}\mathbf{} \\ \mathbf{When}\mathbf{}\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{40}\mathbf{,}\mathbf{}\mathbf{then}\mathbf{}\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{10} \\ \mathbf{Case}\mathbf{}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{When}\mathbf{}\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{20}\mathbf{}\mathbf{and}\mathbf{}\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{40} \\ {\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3+{\mathrm{c}}^3 \\ ={10}^3+{20}^3+{40}^3 \\ =1000+8000+64000 \\ =73000 \\ \mathbf{Case}\mathbf{}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{}\mathbf{When}\mathbf{}\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{40}\mathbf{,}\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{20}\mathbf{}\mathbf{and}\mathbf{}\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{10} \\ {\mathrm{a}}^3+{\mathrm{b}}^3+{\mathrm{c}}^3 \\ ={40}^3+{20}^3+{10}^3 \\ =64000+8000+1000 \\ =73000 \end{gathered}$$