Question

5²ⁿ⁺² −24n −25 is divisible by 576 for all n ∈ N.

Answer 1

Let P(n) be the given statement.
Now,
$$\begin{gathered} P\left(n\right):5^{2n+2}-24n-25\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}576\mathrm{for}\mathrm{all}n\in N. \\ \mathrm{Step}1: \\ P\left(1\right)=5^{2+2}-24-25=625-49=576 \\ It\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}576. \\ \mathrm{Thus},P\left(1\right)\mathrm{is}\mathrm{true}. \\ \mathrm{Step}2: \\ \mathrm{Let}P\left(m\right)\mathrm{be}\mathrm{true}. \\ \mathrm{Then}, \\ {5}^{2m+2}-24m-25\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}576. \\ \mathrm{Let}{5}^{2m+2}-24m-25=576\lambda ,\mathrm{where}\lambda \in N. \\ \mathrm{We}\mathrm{need}\mathrm{to}\mathrm{show}\mathrm{that}P(m+1)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{wheneve}rP\left(m\right)i\mathrm{s}\mathrm{true}. \\ \mathrm{Now}, \\ P(m+1)=5^{2m+4}-24(m+1)-25 \\ =5^2\times (576\lambda +24m+25)-24m-49 \\ =25\times 576\lambda +600m+625-24m-49 \\ =25\times 576\lambda +576m+576 \\ =576(25\lambda +m+1) \\ It\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}576. \\ \mathrm{Thus},P(m+1)\mathrm{is}\mathrm{true}. \\ Bythep\mathrm{rinciple}\mathrm{of}m\mathrm{athematical}i\mathrm{nduction},P\left(n\right)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{all}n\in N. \end{gathered}$$