Question

6. 2x + y = 7 is one of the bisectors of the angles between the lines represented by α(x – 2)² + 2γ(x – 2) (y – 3) + β(y – 3)² = 0. Then the intercepts made by the other bisector on the x-axis and y-axis respectively.
(a) –4, 2 (b) 4, –2 (c) 2, –4 (d) –2, 4

7. If A(1, 2) and B(4, 3) are two points, then a point P on the line 3x – 4y + 7 = 0 such that |AP – PB| is maximum, is
(a) $\left(\frac{8}{5},\frac{1}{5}\right)$ (b) $\left(-\frac{1}{5},\frac{8}{5}\right)$ (c) $\left(\frac{8}{5},-\frac{1}{5}\right)$ (d) $\left(\frac{1}{5},\frac{3}{5}\right)$

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{bisector}\mathrm{is}2\mathrm{x}+\mathrm{y}=7 \\ \mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7 \\ \mathrm{The}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{bisector}\mathrm{is}-2 \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{the}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{bisector}\mathrm{is}\frac{1}{2} \\ \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{straight}\mathrm{lines}\mathrm{is} \\ \mathrm{\alpha }{\left(\mathrm{x}-2\right)}^2+2\mathrm{\gamma }(\mathrm{x}-2)(\mathrm{y}-3)+\mathrm{\beta }(\mathrm{y}-3{)}^2=0...(1) \\ \mathrm{The}\mathrm{intersection}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{straight}\mathrm{line}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}\mathrm{substituting} \\ \mathrm{x}-2=0\mathrm{and}\mathrm{y}-3=0 \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}\mathrm{x}=2\mathrm{and}\mathrm{y}=3 \\ \mathrm{The}\mathrm{lines}\mathrm{are}\mathrm{concurrent}\mathrm{at}(2,3) \\ \mathrm{The}\mathrm{angle}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{straight}\mathrm{lines}\mathrm{will}\mathrm{also}\mathrm{pass}\mathrm{through}\mathrm{the}\mathrm{point}(2,3) \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{bisector}\mathrm{passes}\mathrm{through}\mathrm{the}\mathrm{point}(2,3)\mathrm{and}\mathrm{slope}\mathrm{is}\frac{1}{2}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{bisector}\mathrm{is} \\ \mathrm{y}-3=\frac{1}{2}(\mathrm{x}-2) \\ \Rightarrow 2\mathrm{y}-6=\mathrm{x}-2 \\ \Rightarrow \mathrm{x}-2\mathrm{y}+4=0...(\mathrm{A}) \\ \mathrm{So},\mathrm{x}-\mathrm{intercept}\mathrm{is}-4(\mathrm{on}\mathrm{putting}\mathrm{y}=0\mathrm{in}\left(\mathrm{A}\right)) \\ \mathrm{y}-\mathrm{intercept}\mathrm{is}2(\mathrm{on}\mathrm{putting}\mathrm{x}=0\mathrm{in}\left(\mathrm{A}\right)) \end{gathered}$$
Regards