Logarithm of a Complex Number

Q.

Write The Quadratic Equation Whose Roots Are $2$ And $3$.

Q.

The value of $a$ for which the equation $2x^2+2\sqrt{6}x+a=0$ has equal roots is:

1. $3$

2. $4$

3. $2$

4. $\sqrt{3}$

5. $\sqrt{2}$

Q.

Find the value of $k$ for which the quadratic equation $x^2-2kx+(7k-12)=0$ has equal roots.

Q. If α and β are the roots of equation $x^2-2\sqrt{3}x+4=0$, then the value of |α| + |β| is

यदि α व β समीकरण $x^2-2\sqrt{3}x+4=0$ के मूल हैं, तब |α| + |β| का मान है

1. 2
2. $2\sqrt{3}$
3. $2\sqrt{2}$
4. 4

Q. Paragraph for below question

नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

Given α and β are roots of quadratic equation x² + x + 1 = 0, (x ∈ R). Choose the correct answer.

दिया है α तथा β, द्विघात समीकरण x² + x + 1 = 0, (x ∈ R) के मूल हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

The equation whose roots are 2α and 2β is

वह समीकरण कौनसी है जिसके मूल 2α तथा 2β है?

1. 4x² + 2x + 1 = 0
   
2. x² + 2x + 4 = 0
   
3. x² + x + 4 = 0
   
4. 4x² + x + 1 = 0
   

Q.

Find $k$ for which the equation $9x^2-kx+25=0$ has real and equal roots.

Q. Paragraph for below question
नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

Consider an equation x² – 3x + k = 0. Then, all possible value(s) of k for which

समीकरण x² – 3x + k = 0 पर विचार कीजिए। तब

Q. Both roots are real, is

प्रश्न - k के सभी संभावित मान कौनसे हैं जिसके लिए दोनों मूल वास्तविक हैं?

1. $\left(-\infty ,\frac{9}{4}\right]$
2. $\left[\frac{9}{4},\infty \right)$
3. $\left[0,\frac{9}{4}\right]$
4. [2, ∞)

Q. Paragraph for below question
नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

For a quadratic equation x² + kx + 4 = 0; (k ∈ R). Choose the correct answers.

द्विघात समीकरण x² + kx + 4 = 0; (k ∈ R) के लिए, सही उत्तर का चयन कीजिए।

Q. The set of values of k for which the equation has no real roots, is

प्रश्न - k के मानों का समुच्चय कौनसा है, जिसके लिए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है?

1. (–∞, –4) ∪ (4, ∞)
2. (–∞, 0)
3. (0, ∞)
4. (–4, 4)

Q. The values of k for which $2x^2-kx+x+8=0$ has equal and real roots are

k के मान कौनसे हैं जिनके लिए $2x^2-kx+x+8=0$ के समान तथा वास्तविक मूल हैं?

1. (1) –9 and –7
   
   –9 तथा –7
   
2. 9 and 7
   
   9 तथा 7
   
3. –9 and 7
   
   –9 तथा 7
   
4. 9 and –7
   
   9 तथा –7
   

Q. Paragraph for below question

नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

Given α and β are roots of quadratic equation x² + x + 1 = 0, (x ∈ R). Choose the correct answer.

दिया है α तथा β, द्विघात समीकरण x² + x + 1 = 0, (x ∈ R) के मूल हैं। सही उत्तर का चयन कीजिए।

The equation whose roots are $\frac{1}{\alpha }and\frac{1}{\beta }$ is

वह समीकरण कौनसी है जिसके मूल $\frac{1}{\alpha }$ तथा $\frac{1}{\beta }$ है?

1. x² + x + 1 = 0
   
2. x² + 1 = 0
   
3. $x+\frac{1}{x}+2=0$
   
4. x² + x + 2 = 0
   

Q. Paragraph for below question
नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

Let z = a + ib (a, b ∈ R) be a complex number. Modulus of z defined as $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ and argument of z is $\arg \left(z\right)={\tan }^{-1}\frac{b}{a}$.

माना z = a + ib (a, b ∈ R) एक सम्मिश्र संख्या है। z का मापांक $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ के रूप में परिभाषित है तथा z का कोणांक $\arg \left(z\right)={\tan }^{-1}\frac{b}{a}$ है।

Q. If $z=\frac{(1+i)(\sqrt{3}-i)}{\sqrt{3}+i}$, then the modulus of z is

प्रश्न - यदि $z=\frac{(1+i)(\sqrt{3}-i)}{\sqrt{3}+i}$, तब z का मापांक है

1. 2
2. $\frac{1}{2}$
3. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
4. $\sqrt{2}$

Q. More than One Answer Type
एक से अधिक उत्तर प्रकार के प्रश्न

Which of the following equations have equal roots?

निम्नलिखित में से कौनसी समीकरणों के मूल समान हैं?

1. x² + 6x + 9 = 0
2. 3x² + 6x + 3 = 0
3. 3x² + x + 9 = 0
4. x² + 6x + 12 = 0

Q. Paragraph for below question
नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

Consider an equation x² – 3x + k = 0. Then, all possible value(s) of k for which

समीकरण x² – 3x + k = 0 पर विचार कीजिए। तब

Q. Both roots are equal, is

प्रश्न - k के सभी संभावित मान कौनसे हैं जिसके लिए दोनों मूल समान है?

1. $-\frac{9}{4}$
2. 2
3. $\frac{9}{4}$
4. –2

Q. More than One Answer Type
एक से अधिक उत्तर प्रकार के प्रश्न

Given z = –1 + i, then which of the following is/are correct?

दिया है z = –1 + i, तब निम्न में से कौनसा/कौनसे विकल्प सही है/हैं?

1. |z| = 2
2. $\arg \left(z\right)=\frac{3\pi }{4}$
3. $|z|=\sqrt{2}$
4. $\arg \left(z\right)=\frac{-\pi }{4}$

Q. More than One Answer Type
एक से अधिक उत्तर प्रकार के प्रश्न

Given a complex number $z=\sqrt{3}-i$, then which of the following(s) is/are correct?

दी गयी सम्मिश्र संख्या $z=\sqrt{3}-i$ है, तब निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे विकल्प सही है/हैं?

1. $|z|=\sqrt{2}$
2. $\arg \left(z\right)=\frac{5\pi }{6}$
3. |z| = 2
4. $\arg \left(z\right)=\frac{-\pi }{6}$

Q. Argument of the complex number $\left(\frac{i}{2}-\frac{2}{i}\right)$ is (where $i=\sqrt{-1}$)

सम्मिश्र संख्या $\left(\frac{i}{2}-\frac{2}{i}\right)$ के कोणांक का मान है (यहाँ $i=\sqrt{-1}$)

1. $\frac{\pi }{4}$
   
2. $\frac{\pi }{2}$
   
3. π
   
4. $\frac{3\pi }{4}$
   

Q. The value of $\left|\frac{\sqrt{3}+i}{{\left[1+\frac{1}{(1-i)}\right]}^2}\right|$ is (where $i=\sqrt{-1}$)

$\left|\frac{\sqrt{3}+i}{{\left[1+\frac{1}{(1-i)}\right]}^2}\right|$ का मान है (जहाँ $i=\sqrt{-1}$)

1. $\frac{4}{5}$
2. $\frac{4}{5}\sqrt{10}$
3. $\frac{1}{5}$
4. $\frac{2\sqrt{10}}{5}$

Q. Paragraph for below question
नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

For a quadratic equation x² + kx + 4 = 0; (k ∈ R). Choose the correct answers.

द्विघात समीकरण x² + kx + 4 = 0; (k ∈ R) के लिए, सही उत्तर का चयन कीजिए।

Q. A value of k for which the given equation has equal roots, is

प्रश्न - k के किस मान के लिए दी गयी समीकरण के मूल समान हैं?

1. Zero
   
   शून्य
2. 4
3. 2
4. –2

Q.

Find the value of i.$i^i$ is _______.

1. 

2. 

3. 

4. 

Q. The value of i⁴⁷ + i⁶³ + i⁷³ + i⁸¹ + i³⁷, is (where $i=\sqrt{-1}$)

i⁴⁷ + i⁶³ + i⁷³ + i⁸¹ + i³⁷ का मान है (जहाँ $i=\sqrt{-1}$)

1. 1
2. –1
3. i
   
4. –i

Q.

Find the values of $k$, for which the quadratic equations has real and equal roots, in the following equation: $x^2+4kx+(k^2-k+2)=0$