Algebra of Derivatives

Q.

Factorize $x^2-2x-3$.

Q.

One number is four times another.

The greater number is $x$.

Write an expression for the lesser number.

Q.

If $x^{2/3}-7x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}+10=0$, then the value of $x$ is:

1. $125$

2. $8$

3. $\varnothing$

4. $125,8$

Q. In $△$ ABC, if $si{n}^2\frac{A}{2},si{n}^2\frac{C}{2}$ be in H. P. then a, b, c will be in

1. A. P.

2. G. P.

3. H. P.
4. None of these

Q. The interval of x in which the function f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 14 is monotonically decreasing, is

x के कौनसे अंतराल में फलन f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 14 एकदिष्ट रूप से ह्रासमान है

1. (–∞, –1) ∪ (2, ∞)
2. (–∞, 1) ∪ (2, ∞)
3. (–∞, –2) ∪ (1, ∞)
4. (–1, 2)

Q. Paragraph for below question

नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

A function f(x) is increasing where f ′(x) > 0 and decreasing where f ′(x) < 0, then at x = x₁ function has its local minima. If f ′(x₁) = 0 and f ′′(x₁) > 0, similarly if at x = x₂, f′(x₂) = 0 and f ′′(x₂) < 0, then at x = x₂ function has its local maxima.

Given f(x) = x³ – 3x² – 9x + 3; x ∈ R

Choose the correct answer

एक फलन f(x) वर्धमान है जहाँ f ′(x) > 0 एवं ह्रासमान है जहाँ f ′(x) < 0, तब x = x₁ पर फलन का स्थानीय निम्निष्ठ है। यदि f ′(x₁) = 0 तथा f ′′(x₁) > 0, इसी प्रकार यदि x = x₂ पर, f′(x₂) = 0 तथा f ′′(x₂) < 0 है, तब x = x₂ पर फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ है।

दिया है f(x) = x³ – 3x² – 9x + 3; x ∈ R

सही उत्तर का चयन कीजिए।

Q. f(x) is decreasing in interval

प्रश्न - f(x) कौनसे अंतराल में ह्रासमान है

1. (–∞, –1)
2. (3, ∞)
3. (–1, 3)
4. (–∞, –1) ∪ (3, ∞)

Q. Paragraph for below question

नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

A function f(x) is increasing where f ′(x) > 0 and decreasing where f ′(x) < 0, then at x = x₁ function has its local minima. If f ′(x₁) = 0 and f ′′(x₁) > 0, similarly if at x = x₂, f′(x₂) = 0 and f ′′(x₂) < 0, then at x = x₂ function has its local maxima.

Given f(x) = x³ – 3x² – 9x + 3; x ∈ R

Choose the correct answer

एक फलन f(x) वर्धमान है जहाँ f ′(x) > 0 एवं ह्रासमान है जहाँ f ′(x) < 0, तब x = x₁ पर फलन का स्थानीय निम्निष्ठ है। यदि f ′(x₁) = 0 तथा f ′′(x₁) > 0, इसी प्रकार यदि x = x₂ पर, f′(x₂) = 0 तथा f ′′(x₂) < 0 है, तब x = x₂ पर फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ है।

दिया है f(x) = x³ – 3x² – 9x + 3; x ∈ R

सही उत्तर का चयन कीजिए।

Q. f(x) has its local maxima at

प्रश्न - f(x) का स्थानीय उच्चिष्ठ है

1. 3
   
   3 पर
2. –1
   
   –1 पर
3. –3
   
   –3 पर
4. 1
   
   1 पर
   

Q. The equation of tangent to the curve y⁴ = ax³ at (a, a) is

वक्र y⁴ = ax³ के (a, a) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है

1. 3x + 4y – a = 0
2. 3x – 4y + a = 0
3. 4x + 3y – 7a = 0
4. 4x – 3y – a = 0

Q. More than One Answer Type
एक से अधिक उत्तर प्रकार के प्रश्न

Given f(x) = sinx, then which of the following is/are correct?

दिया है f(x) = sinx, तब निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे विकल्प सही है/हैं?

1. Slope of tangent at x = 0 is 1
   
   x = 0 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 1 है
2. Slope of tangent at x = 0 is 0
   
   x = 0 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 0 है
3. Slope of normal at x = 0 is –1
   
   x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता –1 है
4. Slope of normal at x = 0 is 0
   
   x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता 0 है

Q. Paragraph for below question

नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

Consider the function f(x) = tanx, x ∈ R, then

फलन f(x) = tanx, x ∈ R पर विचार कीजिए, तब

Q. The equation of normal at x = 0 is

प्रश्न - x = 0 पर अभिलम्ब का समीकरण है

1. y = x
2. x + y = 0
3. y = x + 1
4. y + x = 1

Q.

If $A=\left\{n^3+(n+1{)}^3+(n+2{)}^3;n\in N\right\}$ and $B=\left\{8n,n\in N\right\}$ then

1. $A\subset B$

2. $B\subset A$

3. $A=B$

4. None of these

Q. This section contains 1 Assertion-Reason type question, which has 4 choices (a), (b), (c) and (d) out of which ONLY ONE is correct.

इस खण्ड में 1 कथन-कारण प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 4 विकल्प (a), (b), (c) तथा (d) दिये गये हैं, जिनमें से केवल एक सही है।

A : Consider the function f(x) = 2x³ + 3x² + 6x, where x ∈ R then f ′(x) > 0 for all x ∈ R.

A : फलन f(x) = 2x³ + 3x² + 6x पर विचार कीजिए, जहाँ x ∈ R, तब सभी x ∈ R के लिए f ′(x) > 0 है।

R : If f ′(x) > 0 then f(x) is a decreasing function.

R : यदि f ′(x) > 0 तब f(x) एक ह्रासमान फलन है।

1. Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A)
   
   (A) तथा (R) दोनों सही हैं तथा (R), (A) का सही स्पष्टीकरण है
2. Both (A) and (R) are true but (R) is not the correct explanation of (A)
   
   (A) तथा (R) दोनों सही हैं लेकिन (R), (A) का सही स्पष्टीकरण नहीं है
3. (A) is true but (R) is false
   
   (A) सही है लेकिन (R) गलत है
4. (A) is false but (R) is true
   
   (A) गलत है लेकिन (R) सही है

Q. This section contains 1 Assertion-Reason type question, which has 4 choices (a), (b), (c) and (d) out of which ONLY ONE is correct.
इस खण्ड में 1 कथन-कारण प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 4 विकल्प (a), (b), (c) तथा (d) दिये गये हैं, जिनमें से केवल एक सही है।

A : Let f(x) and g(x) be two decreasing functions then h(x) = f(x) + 2g(x) + (k² – 7k +13) must be a decreasing function.
A : माना f(x) तथा g(x) दो ह्रासमान फलन हैं, तब h(x) = f(x) + 2g(x) + (k² – 7k +13) एक ह्रासमान फलन होगा।

R : f(1) + g(1) > f(2) + g(2) if f and g are two decreasing functions.
R : f(1) + g(1) > f(2) + g(2) यदि f तथा g दो ह्रासमान फलन हैं।

1. Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A)
   
   (A) तथा (R) दोनों सही हैं तथा (R), (A) का सही स्पष्टीकरण है
2. Both (A) and (R) are true but (R) is not the correct explanation of (A)
   
   (A) तथा (R) दोनों सही हैं लेकिन (R), (A) का सही स्पष्टीकरण नहीं है
3. (A) is true but (R) is false
   
   (A) सही है लेकिन (R) गलत है
4. (A) is false but (R) is true
   
   (A) गलत है लेकिन (R) सही है

Q. Paragraph for below question

नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

Consider the function f(x) = tanx, x ∈ R, then

फलन f(x) = tanx, x ∈ R पर विचार कीजिए, तब

Q. The equation of tangent at $x=\frac{\pi }{4}$ is

प्रश्न - $x=\frac{\pi }{4}$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है

1. y = 2x + 1
2. $y=2x-\frac{\pi }{2}$
3. $y=2x+1-\frac{\pi }{2}$
4. $y=x+\frac{\pi }{4}$

Q. Let f be a function such that f(x+y)=f(x)+f(y) for all x and y and $f\left(x\right)=(2x^2+3x)g\left(x\right)$ for all x where g(x) is continuous and g(0)=9 then f'(0) is equals to

1. 9
2. 3
3. 27
4. 6

Q. This section contains 1 Matrix Match type question, which has 2 Columns (Column I and Column II). Column I has four entries (A), (B), (C) and (D), Column II has four entries (P), (Q), (R) and (S). Match the entries in Column I with the entries in Column II. Each entry in Column I may match with one or more entries in Column II.
इस खण्ड में 1 मैट्रिक्स मिलान प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 2 कॉलम (कॉलम I तथा कॉलम II) हैं। कॉलम I में चार प्रविष्टियाँ (A), (B), (C) तथा (D) हैं, कॉलम II में चार प्रविष्टियाँ (P), (Q), (R) तथा (S) हैं। कॉलम I में दी गयी प्रविष्टियों का मिलान कॉलम II में दी गयी प्रविष्टियों के साथ कीजिए। कॉलम I में दी गयी प्रत्येक प्रविष्टि का मिलान कॉलम II में दी गयी एक या अधिक प्रविष्टियों के साथ हो सकता है।

Match the Columns and choose the appropriate answer
कॉलमों का मिलान करें और सही उत्तर चुनें

Match the functions given in Column-I with their extreme values given in Column-II

कॉलम-I में दिये गये फलनों का मिलान कॉलम-II में दिये गये इनके चरम मानों के साथ कीजिए।

	Column-I कॉलम-I		Column-II कॉलम-II
(A)	$y=x+\sqrt{1-x^2}$	(P)	ymin = 0
(B)	y = x2e–x	(Q)	ymin = 1
(C)	$y=x\sqrt{2-x^2}$	(R)	ymax = $\sqrt{2}$
(D)	$y=\frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}$	(S)	ymin = –1

1. A-PRS, B-PQ, C-RS, D-Q
2. A-RS, B-P, C-S, D-Q
3. A-PRS, B-P, C-PS, D-PQ
4. A-QRS, B-PQ, C-QS, D-PQ

Q. More than One Answer Type
एक से अधिक उत्तर प्रकार के प्रश्न

Let f(x) = x² – 4x + 3; x ∈ R. Which of the following statement(s) is/are correct about f(x)?

माना f(x) = x² – 4x + 3; x ∈ R है। तब f(x) के लिए निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सही है/हैं?

1. f(x) has maxima at x = 2
   
   x = 2 पर f(x) का उच्चिष्ठ मान है
2. f(x) is increasing in $x\in (-\infty ,2)$
   
   $x\in (-\infty ,2)$ में f(x) वर्धमान है
3. f(x) is decreasing in $x\in (-\infty ,2)$
   
   $x\in (-\infty ,2)$ में f(x) ह्रासमान है
4. Minimum value of f(x) is –1
   
   f(x) का न्यूनतम मान –1 है

Q. If $F\left(x\right)=f\left(x\right).g\left(x\right)and{f}^{\prime }\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)=c$ , where ‘c’ is a constant then $\frac{f‘‘}{f}+\frac{g‘‘}{g}+\frac{2C}{fg}$=

1. $\frac{f^{\prime \prime }}{F}$
2. $\frac{f^{\prime \prime }}{F^{\prime }}$
3. $\frac{F^{\prime \prime }}{F}$
4. $Noneofthese$

Q. Let $\left|\begin{array}{ccc}2& 6& x\\ x& x^2& 2\\ x^2& x& 3\end{array}\right|=-x^5+A{x}^4+B{x}^3+C{x}^2+Dx+E$, then the value of E is equal to

माना $\left|\begin{array}{ccc}2& 6& x\\ x& x^2& 2\\ x^2& x& 3\end{array}\right|=-x^5+A{x}^4+B{x}^3+C{x}^2+Dx+E$ , तब E का मान बराबर है

1. Zero
   
   शून्य
2. –14
3. –72
4. –22

Q. More than One Answer Type
एक से अधिक उत्तर प्रकार के प्रश्न

If $f\left(x\right)=2x^3-3x^2-12x+5$ and $x\in [-2,4]$ then which of the following is/are true?

यदि $f\left(x\right)=2x^3-3x^2-12x+5$ तथा $x\in [-2,4]$, तब निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे विकल्प सही है/हैं?

1. Maximum value of f(x) = 12
   
   f(x) का अधिकतम मान = 12
2. Maximum value of f(x) = 37
   
   f(x) का अधिकतम मान = 37
3. Minimum value of f(x) = –15
   
   f(x) का न्यूनतम मान = –15
4. Minimum value of f(x) = 1
   
   f(x) का न्यूनतम मान = 1

Q. Value of x at which the function f(x) = xlnx, x > 0 attains its extrema, is

x के कौनसे मान के लिए फलन f(x) = xlnx, x > 0 का चरम मान विद्यमान है

1. $\frac{1}{e^2}$
2. e²
3. e
4. $\frac{1}{e}$

Q.

Given $f\left(x\right)=\tan x$. Then $f^{\prime }\left(x\right)$ is equal to

1. ${\sec }^{2}x$

2. ${\text{cosec}}^{2}x$

3. $-{\sec }^{2}x$

4. $x{\sec }^{2}x$

Q. The value of ${\text{cosec}}^{-1}(-\sqrt{2})$ is

1. $\frac{\pi }{6}$
2. $-\frac{\pi }{4}$
3. $-\frac{\pi }{6}$
4. $\frac{\pi }{4}$