Conjugate of a Complex Number

Q. If $z$ is a complex number such that $z^2=(\overline{z}{)}^2$, then

1. $Re\left(z\right)=Im\left(z\right)$
2. $Re\left(z\right)Im\left(z\right)=1$
3. $Re\left(z\right)Im\left(z\right)=0$
4. None of these

Q. If $z$ is a complex number satisfying $z+3\overline{z}=5-6i$, then the value of $Im\left(\overline{z}\right)$ is

1. $-3$
2. $3$
3. $\frac{1}{4}$
4. $\frac{5}{4}$

Q. Let z = x+iy be a complex number where x and y are integers. Then, the area of the rectangle whose vertices are the roots of the equation $z{\overline{z}}^3+\overline{z}{z}^3=350$, is

1. 48
2. 32
3. 40
4. 80

Q. Paragraph for below question
नीचे दिए गए प्रश्न के लिए अनुच्छेद

Roots of x² + 6x + 12 = 0 are α and β, where α and β are complex numbers, then

समीकरण x² + 6x + 12 = 0 के मूल α व β हैं, जहाँ α व β सम्मिश्र संख्याएं हैं, तब

Q. |α² – β²| is

प्रश्न - |α² – β²| का मान है

1. $8\sqrt{3}$
2. $6\sqrt{3}$
3. $12\sqrt{3}$
4. $-12\sqrt{3}$

Q. Let $z$ is a complex number and $\overline{z}$ is conjugate of $z$. If $(1+i)z=(1-i)\overline{z},$ then the value of $z+i\overline{z}$ is

1. $1$
2. $-1$
3. $0$
4. $-i$

Q. If $a$ is a complex number such that $|a|=1$ and $a{z}^2+z+1=0$ has one purely imaginary root, then $\cos \left(\arg \right(a\left)\right)$ is

1. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
2. $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
3. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
4. $\frac{\sqrt{7}-1}{2}$

Q. If $\frac{a+ib}{c+id}=x+iy$, then $\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$ is equal to

1. $x^2-y^2$
2. $x^2+y^2$
3. $(x+y{)}^2$
4. $(x-y{)}^2$

Q. If $z$ is a complex number satisfying $z-12=i(9-2\overline{z}),$ then the value of $z+\overline{z}$ is

1. $10$
2. $4$
3. $6$
4. $8$

Q. If $z=x+iy,|z|=1$ and $\omega =\frac{(1-z{)}^2}{1-z^2}$, then the locus of $\omega$ is equivalent to

1. $|z-2|=|z+2|$
2. $|z-2i|=|z+2i|$
3. $|z-1-i|=|z+1-i|$
4. $|z-i|=|z+i|$

Q. This section contains 1 Matrix Match type question, which has 2 Columns (Column I and Column II). Column I has four entries (A), (B), (C) and (D), Column II has four entries (P), (Q), (R) and (S). Match the entries in Column I with the entries in Column II. Each entry in Column I may match with one or more entries in Column II.

इस खण्ड में 1 मैट्रिक्स मिलान प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 2 कॉलम (कॉलम I तथा कॉलम II) हैं। कॉलम I में चार प्रविष्टियाँ (A), (B), (C) तथा (D) हैं, कॉलम II में चार प्रविष्टियाँ (P), (Q), (R) तथा (S) हैं। कॉलम I में दी गयी प्रविष्टियों का मिलान कॉलम II में दी गयी प्रविष्टियों के साथ कीजिए। कॉलम I में दी गयी प्रत्येक प्रविष्टि का मिलान कॉलम II में दी गयी एक या अधिक प्रविष्टियों के साथ हो सकता है।

Match the items given in Column-I with those of Column-II.

कॉलम-I में दिये गये पदों का मिलान कॉलम-II के पदों के साथ कीजिए।

	Column(कॉलम)-I		Column(कॉलम)-II
(A)	If $x+\frac{1}{x}=2$, then $x^2+\frac{1}{x^2}=$ यदि $x+\frac{1}{x}=2$, तब $x^2+\frac{1}{x^2}=$	(P)	Zero(शून्य)
(B)	Number of real roots of (x – 1)2 + (x – 2)2 + (x – 3)2 = 0 is (x – 1)2 + (x – 2)2 + (x – 3)2 = 0 के वास्तविक मूलों की संख्या है	(Q)	1
(C)	If $\frac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)}{2^8-1}=4^n+1$, then n is यदि $\frac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)}{2^8-1}=4^n+1$, तब n का मान है	(R)	2
(D)	If $3^{2{\log }_{3}x}-2x-3=0$, then the number of values of x satisfying this equation is यदि $3^{2{\log }_{3}x}-2x-3=0$, तब इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले x के मानों की संख्या है	(S)	4

1. A-PR, B-P, C-RS, D-PQ
2. A-PR, B-P, C-S, D-PQ
3. A-R, B-P, C-S, D-Q
4. A-PR, B-PQ, C-S, D-Q

Q. If $z$ is a complex number satisfying $z+3\overline{z}=5-6i$, then the value of $Im\left(\overline{z}\right)$ is

1. $-3$
2. $3$
3. $\frac{1}{4}$
4. $\frac{5}{4}$

Q. If $z=x+iy,|z|=1$ and $\omega =\frac{(1-z{)}^2}{1-z^2}$, then the locus of $\omega$ is equivalent to

1. $|z-2|=|z+2|$
2. $|z-2i|=|z+2i|$
3. $|z-1-i|=|z+1-i|$
4. $|z-i|=|z+i|$

Q. This section contains 1 Matrix Match type question, which has 2 Columns (Column I and Column II). Column I has four entries (A), (B), (C) and (D), Column II has four entries (P), (Q), (R) and (S). Match the entries in Column I with the entries in Column II. Each entry in Column I may match with one or more entries in Column II.
इस खण्ड में 1 मैट्रिक्स मिलान प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 2 कॉलम (कॉलम I तथा कॉलम II) हैं। कॉलम I में चार प्रविष्टियाँ (A), (B), (C) तथा (D) हैं, कॉलम II में चार प्रविष्टियाँ (P), (Q), (R) तथा (S) हैं। कॉलम I में दी गयी प्रविष्टियों का मिलान कॉलम II में दी गयी प्रविष्टियों के साथ कीजिए। कॉलम I में दी गयी प्रत्येक प्रविष्टि का मिलान कॉलम II में दी गयी एक या अधिक प्रविष्टियों के साथ हो सकता है।

Match the complex numbers given in Column-I with the principal values of their respective arguments given in Column-II.

कॉलम-I में दी गयी सम्मिश्र संख्याओं का मिलान कॉलम-II में दिये गये इनके संगत कोणांकों के मुख्य मानों के साथ कीजिए।

	Column (कॉलम)-I		Column (कॉलम)-II
(A)	$z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$	(P)	$-\frac{\pi }{4}$
(B)	$z=\frac{-1+i}{\sqrt{3}}$	(Q)	$\frac{\pi }{4}$
(C)	$z=\frac{1-i}{\sqrt{5}}$	(R)	$-\frac{3\pi }{4}$
(D)	$z=\frac{-1-i}{\sqrt{7}}$	(S)	$\frac{3\pi }{4}$

1. A-PQRS, B-PQS, C-PQ, D-RS
2. A-PQR, B-PS, C-P, D-PR
3. A-PQ, B-S, C-P, D-PR
4. A-Q, B-S, C-P, D-R

Q.

If z = 3+5i, then $z^3$ + $\overline{z}$ + 198 =

1. -3-5i

2. -3+5i

3. 3+5i

4. 3-5i

Q.

Let $(x,y,z)$ be points with integer coordinates satisfying the system of homogeneous equations:
$3x-y-z=0-3x+z=0-3x+2y+z=0$
Then the number of such points for which
$x^2+y^2+z^2\le 100$ is ___

Q.

If z is a complex number $\overline{z^{-1}}\left(\overline{z}\right)$ = , then

1. 1

2. -1

3. 0

4. None of these

Q.

If z = 3+5i, then $z^3$ + $\overline{z}$ + 198 =

1. -3-5i

2. -3+5i

3. 3+5i

4. 3-5i

Q.

If z is a complex number $\overline{z^{-1}}\left(\overline{z}\right)$ = , then

1. 1

2. -1

3. 0

4. None of these

Q. If $\frac{(a+i{)}^2}{2a-i}=p+iq,$ where $a\in R,$ then the value of $p^2+q^2$ is

1. $\frac{(a^2-1{)}^2}{4a^2+1}$
2. $\frac{(a^2+1{)}^2}{4a^2+1}$
3. $\frac{(a^2-1{)}^2}{2a^2+1}$
4. $\frac{(a^2+1{)}^2}{2a^2+1}$

Q. If $(x-iy)(3+5i)$ is the conjugate of $(-6-24i),$ where $x,y\in R$, then the value of $x-y$ is