Improper Integrals

Q. The area of the region bounded by parabola y² = 8x and its latus rectum in square units, is

परवलय y² = 8x तथा इसके नाभिलम्ब द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल वर्ग इकाई में है

1. $\frac{8\sqrt{2}}{3}$
2. $\frac{16}{3}$
3. $\frac{16\sqrt{2}}{3}$
4. $\frac{32}{3}$

Q. The area bounded by curves y = e^x, y = e^–x and x axis, in square units, is

वक्रों y = e^x, y = e^–x तथा x-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल वर्ग इकाई में है

1. 2e
2. 2
3. e²
4. 2e²

Q. This section contains 1 Assertion-Reason type question, which has 4 choices (a), (b), (c) and (d) out of which ONLY ONE is correct.

इस खण्ड में 1 कथन-कारण प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 4 विकल्प (a), (b), (c) तथा (d) दिये गये हैं, जिनमें से केवल एक सही है।

A : $\int \frac{x^2-1}{x^2}{e}^{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)}dx=e^{\frac{x^2+1}{x}}+c$

R : $\int f\left(x\right)e^{f\left(x\right)}dx=e^{f\left(x\right)}+c$

1. Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A)
   
   (A) तथा (R) दोनों सही हैं तथा (R), (A) का सही स्पष्टीकरण है
   
2. Both (A) and (R) are true but (R) is not the correct explanation of (A)
   
   (A) तथा (R) दोनों सही हैं लेकिन (R), (A) का सही स्पष्टीकरण नहीं है
3. (A) is true but (R) is false
   
   (A) सही है लेकिन (R) गलत है
   
4. (A) is false but (R) is true
   
   (A) गलत है लेकिन (R) सही है

Q. This section contains 1 Matrix Match type question, which has 2 Columns (Column I and Column II). Column I has four entries (A), (B), (C) and (D), Column II has four entries (P), (Q), (R) and (S). Match the entries in Column I with the entries in Column II. Each entry in Column I may match with one or more entries in Column II.

इस खण्ड में 1 मैट्रिक्स मिलान प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 2 कॉलम (कॉलम I तथा कॉलम II) हैं। कॉलम I में चार प्रविष्टियाँ (A), (B), (C) तथा (D) हैं, कॉलम II में चार प्रविष्टियाँ (P), (Q), (R) तथा (S) हैं। कॉलम I में दी गयी प्रविष्टियों का मिलान कॉलम II में दी गयी प्रविष्टियों के साथ कीजिए। कॉलम I में दी गयी प्रत्येक प्रविष्टि का मिलान कॉलम-II में दी गयी एक या अधिक प्रविष्टियों के साथ हो सकता है।

Match the Columns and choose the appropriate answer

कॉलमों का मिलान करें और सही उत्तर चुनें

Match the integrals from Column-I to their respective values in Column-II.

कॉलम-I के समाकलनों का मिलान कॉलम-II में इनके संगत मानों के साथ कीजिए।

	Column-I कॉलम-I		Column –II कॉलम-II
(A)	$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx$	(P)	–2
(B)	$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos xdx$	(Q)	2
(C)	$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|\sin x|dx$	(R)	0
(D)	$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|\cos x|dx$	(S)	1

1. A-PQ, B-R, C-QR, D-PQ
2. A-PQR, B-R, C-Q, D-PQR
3. A-Q, B-R, C-Q, D-Q
4. A-PQ, B-RS, C-PQ, D-QS

Q. This section contains 1 Assertion-Reason type question, which has 4 choices (a), (b), (c) and (d) out of which ONLY ONE is correct.
इस खण्ड में 1 कथन-कारण प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 4 विकल्प (a), (b), (c) तथा (d) दिये गये हैं, जिनमें से केवल एक सही है।

A : $\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}=-\frac{1}{e^x+1}+c$

R : $\int \frac{d\left(f\right(x\left)\right)}{{\left(f\right(x\left)\right)}^2}=-\frac{1}{f\left(x\right)}+c$

1. Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A)
   
   (A) तथा (R) दोनों सही हैं तथा (R), (A) का सही स्पष्टीकरण है
2. Both (A) and (R) are true but (R) is not the correct explanation of (A)
   
   (A) तथा (R) दोनों सही हैं लेकिन (R), (A) का सही स्पष्टीकरण नहीं है
3. (A) is true but (R) is false
   
   (A) सही है लेकिन (R) गलत है
4. (A) is false but (R) is true
   
   (A) गलत है लेकिन (R) सही है

Q. This section contains 1 Matrix Match type question, which has 2 Columns (Column I and Column II). Column I has four entries (A), (B), (C) and (D), Column II has four entries (P), (Q), (R) and (S). Match the entries in Column I with the entries in Column II. Each entry in Column I may match with one or more entries in Column II.

इस खण्ड में 1 मैट्रिक्स मिलान प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 2 कॉलम (कॉलम I तथा कॉलम II) हैं। कॉलम I में चार प्रविष्टियाँ (A), (B), (C) तथा (D) हैं, कॉलम II में चार प्रविष्टियाँ (P), (Q), (R) तथा (S) हैं। कॉलम I में दी गयी प्रविष्टियों का मिलान कॉलम II में दी गयी प्रविष्टियों के साथ कीजिए। कॉलम I में दी गयी प्रत्येक प्रविष्टि का मिलान कॉलम II में दी गयी एक या अधिक प्रविष्टियों के साथ हो सकता है।

Match the Columns and choose the appropriate answer

कॉलमों का मिलान करें और सही उत्तर चुनें

	Column-I कॉलम-I		Column-II कॉलम-II
(A)	$\int \frac{x}{1+x^2}dx$ equals $\int \frac{x}{1+x^2}dx$ बराबर है	(P)	tan–1x + c
(B)	$\int \frac{1}{1+x^2}dx$ equals $\int \frac{1}{1+x^2}dx$ बराबर है	(Q)	$\log \left(\sqrt{1+x^2}\right)+c$
(C)	$\int \frac{x^2}{1+x^3}dx$ equals $\int \frac{x^2}{1+x^3}dx$ बराबर है	(R)	$\frac{1}{2}\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)+c$
(D)	$\int \frac{1}{1-x^2}dx$ equals $\int \frac{1}{1-x^2}dx$ बराबर है	(S)	$\frac{1}{3}\log (1+x^3)+c$

1. A-PQ, B-PRS, C-PRS, D-RS
2. A-QS, B-PS, C-RS, D-RS
3. A-Q, B-P, C-S, D-R
4. A-QR, B-PQ, C-S, D-PQ

Q. $\int {\tan }^{2}xdx$ is equal to

$\int {\tan }^{2}xdx$ का मान है

1. tanx + x + c
2. sec²x + c
3. secx + c
4. tanx – x + c

Q. $\int \frac{2x}{x^4-1}dx$ is equal to

$\int \frac{2x}{x^4-1}dx$ का मान है

1. $\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x^2-1}{x^2+1}\right|+c$
2. $\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x^2-1}{x^2+1}\right|+c$
3. $\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x^2+1}{x^2-1}\right|+c$
4. $\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x^2+1}{x^2-1}\right|+c$

Q. More than One Answer Type
एक से अधिक उत्तर प्रकार के प्रश्न

Which of the following is/are true?

निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे विकल्प सही है/हैं?

1. $\int {\cot }^{2}xdx=\sec x+c$
2. $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+c$
3. $\int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+c$
4. $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\cos 2x}{4}+c$

Q. More than One Answer Type
एक से अधिक उत्तर प्रकार के प्रश्न

$\int e^{\sin x}({\sin }^{2}x+2\sin x)\cos x\cdot dx$ is equal to

$\int e^{\sin x}({\sin }^{2}x+2\sin x)\cos x\cdot dx$ का मान बराबर है

1. e^sinx – e^sinx × cos²x + c
2. $2\cdot e^x\sin x+c$
3. $2e^{\sin x}\sin x+c$
4. $e^{\sin x}{\sin }^{2}x+c$

Q. Suppose f, g are continuous and differentiable on [0, b], are non-negative on [0, b] and f is non constant with f(0) = 0, then the minimum value of ${\int }_0^{a}g\left(x\right)f^{\prime }\left(x\right)dx+{\int }_0^b{g}^{\prime }\left(x\right)f\left(x\right)dxonaϵ(0,b]$ is

1. f(a).g(a)
2. f(b).g(b)
3. f(a).g(b)
4. f(b).g(a)

Q.

Let a, b, c be non-zero real numbers such that
${\int }_0^1(1+co{s}^{8}x)(a{x}^2+bx+c)dx={\int }_0^2(1+co{s}^{8}x)(a{x}^2+bx+c)dx$
Then the quadratic equation $a{x}^2+bx+c=0$ has [IIT 1981; CEE 1993]

1. No root in (0, 2)

2. At least one root in (0, 2)

3. A double root in (0, 2)

4. None of these

Q. The range of the functions $f\left(x\right)={\int }_1^x|t|dt,xϵ[\frac{-1}{2},\frac{1}{2}]$ is

1. $[\frac{3}{8},\frac{5}{8}]$
2. $[\frac{-5}{8},\frac{3}{8}]$
3. $[\frac{-3}{8},\frac{5}{8}]$
4. $[\frac{-5}{8},\frac{-3}{8}]$

Q. $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{x}^{2}for0\le x\le 1\\ \sqrt{x}for1\le x\le 2\end{array}then{\int }_0^{2}f\left(x\right)xdx=$

1. $\left(\frac{1}{3}\right)(4\sqrt{2}+1)$
2. $\left(\frac{1}{3}\right)(4\sqrt{2}-1)$
3. $\left(\frac{1}{3}\right)(2\sqrt{2}-1)$
4. $\left(\frac{1}{2}\right)(3\sqrt{2}-1)$

Q. f(x) = |x² – 6x| is not differentiable at x =

x के किस मान पर f(x) = |x² – 6x| अवकलनीय नहीं है?

1. 0
2. 2
3. 3
4. –6

Q. This section contains 1 Matrix Match type question, which has 2 Columns (Column I and Column II). Column I has four entries (A), (B), (C) and (D), Column II has four entries (P), (Q), (R) and (S). Match the entries in Column I with the entries in Column II. Each entry in Column I may match with one or more entries in Column II.
इस खण्ड में 1 मैट्रिक्स मिलान प्रकार का प्रश्न है, जिसमें 2 कॉलम (कॉलम I तथा कॉलम II) हैं। कॉलम I में चार प्रविष्टियाँ (A), (B), (C) तथा (D) हैं, कॉलम II में चार प्रविष्टियाँ (P), (Q), (R) तथा (S) हैं। कॉलम I में दी गयी प्रविष्टियों का मिलान कॉलम II में दी गयी प्रविष्टियों के साथ कीजिए। कॉलम I में दी गयी प्रत्येक प्रविष्टि का मिलान कॉलम II में दी गयी एक या अधिक प्रविष्टियों के साथ हो सकता है।

Match the Columns and choose the appropriate answer
कॉलमों का मिलान करें और सही उत्तर चुनें

Match the integrals given in Column-I with their respective values in Column-II

कॉलम-I में दिये गये समाकलनों का मिलान कॉलम-II में इनके संगत मानों के साथ कीजिए।

	Column-I कॉलम-I		Column-II कॉलम-II
(A)	$\int \frac{\ln x}{x}dx$	(P)	$e^x\sin x+c$
(B)	$\int e^x(\sin x+\cos x)dx$	(Q)	$\ln \left(\ln x\right)+c$
(C)	$\int e^x(\sin x-\cos x)dx$	(R)	$\frac{{\left(\ln x\right)}^2}{2}+c$
(D)	$\int \frac{1}{x\left(\ln x\right)}dx$	(S)	$-e^x\cos x+c$

1. A-PR, B-PQ, C-S, D-Q
2. A-PR, B-P, C-RS, D-PQ
3. A-PQR, B-PQ, C-RS, D-PQ
4. A-R, B-P, C-S, D-Q

Q. The value of $\int \frac{1}{x^2+4}dx$ is equal to

$\int \frac{1}{x^2+4}dx$ का मान बराबर है

1. $\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+c$
2. ${\tan }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+c$
3. ${\sin }^{-1}\frac{x}{2}+c$
4. $\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+c$

Q. ${\int }_{-4}^4|x+2|dx=$

1. 50
2. 24
3. 20

4. None of these

Q. Evaluate the integral $I={\int }_4^6|5-x|dx$

1. - 2
2. 1
3. \N
4. 6