Question

a, b, c throw a die alternatively by till one of them gets a 6 and wins a game.find the respective probabilities of winning if a starts first.
will we find probabilities of winning of all three i.e. a b and c .

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{E}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{event}\mathrm{of}\mathrm{getting}\mathrm{a}\mathrm{six}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{single}\mathrm{throw}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{die}. \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)=\frac{1}{6}\Rightarrow \mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} \\ \mathrm{A}\mathrm{wins}\mathrm{if}\mathrm{throws}\mathrm{six}\mathrm{in}1\mathrm{st}\mathrm{or}4\mathrm{th}\mathrm{or}7\mathrm{th}\mathrm{or}...\mathrm{throws}.\mathrm{Also},\mathrm{B}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{throw}\mathrm{a}\mathrm{six}\mathrm{in}2\mathrm{nd}\mathrm{or}5\mathrm{th}\mathrm{or}8\mathrm{th}...\mathrm{throws}\mathrm{and}\mathrm{C}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{throw}\mathrm{a}\mathrm{six}\mathrm{in}3\mathrm{rd}\mathrm{or}6\mathrm{th}\mathrm{or}9\mathrm{th}...\mathrm{throws}. \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{wins}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\cup \left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)\cup \left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)\cup ...\right) \\ =\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)+... \\ =\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)+... \\ =\frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\frac{1}{6}+... \\ =\frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}}{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3} \\ =\frac{36}{91} \\ \mathrm{B}\mathrm{wins}\mathrm{if}\mathrm{throws}\mathrm{six}\mathrm{in}2\mathrm{nd}\mathrm{or}5\mathrm{th}\mathrm{or}8\mathrm{th}\mathrm{or}...\mathrm{throws}.\mathrm{Also},\mathrm{A}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{throw}\mathrm{a}\mathrm{six}\mathrm{in}1\mathrm{st}\mathrm{or}4\mathrm{th}\mathrm{or}7\mathrm{th}...\mathrm{throws}\mathrm{and}\mathrm{C}\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{throw}\mathrm{a}\mathrm{six}\mathrm{in}3\mathrm{rd}\mathrm{or}6\mathrm{th}\mathrm{or}9\mathrm{th}...\mathrm{throws}. \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{wins}\right)=\mathrm{P}\left(\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)\cup \left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)\cup \left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)\cup ...\right) \\ =\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right)+... \\ =\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)+... \\ =\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^4\frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^7\frac{1}{6}+... \\ =\frac{{\displaystyle \frac{5}{36}}}{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3} \\ =\frac{30}{91} \\ \mathrm{Now}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{wins}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{wins}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\mathrm{wins}\right)=1 \\ \Rightarrow \frac{36}{91}+\frac{30}{91}+\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\mathrm{wins}\right)=1 \\ \Rightarrow \mathrm{P}\left(\mathrm{C}\mathrm{wins}\right)=1-\frac{36}{91}-\frac{30}{91}=\frac{25}{91} \end{gathered}$$