Question

A point A is at a distance of ?29 from the point B(6,-3). Find the coordinates of A , if its ordinate is half of its abscissa.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{coordinates}\mathrm{of}\mathrm{A}\mathrm{are}\mathrm{A}\left(\mathrm{m},\mathrm{n}\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{than}\mathrm{ordinate}\mathrm{of}\mathrm{A}\mathrm{is}\mathrm{half}\mathrm{of}\mathrm{its}\mathrm{abscissa},\mathrm{then} \\ \mathrm{m}=2\mathrm{n} \\ \mathrm{So},\mathrm{coordinates}\mathrm{of}\mathrm{A}\mathrm{are}\mathrm{A}\left(2\mathrm{n},\mathrm{n}\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{B}\left(6,-3\right)\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{point}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{AB}=\sqrt{29}\mathrm{units} \\ \Rightarrow \sqrt{{\left(2\mathrm{n}-6\right)}^2+{\left(\mathrm{n}+3\right)}^2}=\sqrt{29} \\ \Rightarrow {\left(2\mathrm{n}-6\right)}^2+{\left(\mathrm{n}+3\right)}^2=29 \\ \Rightarrow 4{\mathrm{n}}^2+36-24\mathrm{n}+{\mathrm{n}}^2+9+6\mathrm{n}=29 \\ \Rightarrow 5{\mathrm{n}}^2-18\mathrm{n}+16=0 \\ \Rightarrow 5{\mathrm{n}}^2-10\mathrm{n}-8\mathrm{n}+16=0 \\ \Rightarrow 5\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-2\right)-8\left(\mathrm{n}-2\right)=0 \\ \Rightarrow \left(5\mathrm{n}-8\right)\left(\mathrm{n}-2\right)=0 \\ \Rightarrow 5\mathrm{n}-8=0\mathrm{or}\mathrm{n}-2=0 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{8}{5}\mathrm{or}\mathrm{n}=2 \\ \mathrm{When}\mathrm{n}=\frac{8}{5},\mathrm{then}\mathrm{m}=\frac{16}{5} \\ \mathrm{When}\mathrm{n}=2,\mathrm{then}\mathrm{m}=4 \\ \mathrm{So},\mathrm{coordinates}\mathrm{of}\mathrm{A}\mathrm{are}\mathrm{either}\left(4,2\right)\mathrm{or}\left(\frac{16}{5},\frac{8}{5}\right) \end{gathered}$$