Question

A RUNNING TRACK OF 440 FT IS LAID OUT ENCLOSING A FOOTBALL FIELD, THE SHAPE OF WHICH IS RECTANGLE WITH SEMICIRCLE AT EACH END. IF THE AREA OF THE RECTANGULAR PORTION IS MAXIMUM FIND THE LENGTH OF THE SIDES??

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{x}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{rectangular}\mathrm{portion}\mathrm{and}\mathrm{y}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{diameter}\mathrm{of}\mathrm{semicircular}\mathrm{ends}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{perimeter}\mathrm{of}\mathrm{track}=440\mathrm{ft} \\ \Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{x}+2\mathrm{\pi }\times \frac{\mathrm{y}}{2}=440 \\ \Rightarrow 2\mathrm{x}+\mathrm{\pi y}=440 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{440-2\mathrm{x}}{\mathrm{\pi }}....\left(1\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{rectangular}\mathrm{portion}=\mathrm{xy} \\ \mathrm{A}=\mathrm{xy} \\ \mathrm{A}=\mathrm{x}\left(\frac{440-2\mathrm{x}}{\mathrm{\pi }}\right) \\ \mathrm{A}=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\left(440\mathrm{x}-2{\mathrm{x}}^2\right) \\ \frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\left(440-4\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{for}\mathrm{maxima}\mathrm{or}\mathrm{minima} \\ \frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{\pi }}\left(440-4\mathrm{x}\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=110 \\ \mathrm{Now}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{A}}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{1}{\mathrm{\pi }}\left(0-4\right)=-\frac{4}{\mathrm{\pi }}<0 \\ \mathrm{So},\mathrm{Area}\mathrm{is}\mathrm{maximum}\mathrm{at}\mathrm{x}=110 \\ \mathrm{Now},\mathrm{y}=\frac{440-220}{\mathrm{\pi }}=\frac{220\times 7}{22}=70 \\ \mathrm{So},\mathrm{x}=110\mathrm{ft}\mathrm{and}\mathrm{y}=70\mathrm{ft} \end{gathered}$$