Question

$\mathrm{A}\mathrm{sequence}{a}_1,a_2,a_3,...\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{by}\mathrm{letting}{a}_1=3\mathrm{and}{a}_k=7a_{k-1}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}k\ge 2.\mathrm{Show}\mathrm{that}{a}_{\mathit{n}}=3·7^{n-1}\mathrm{for}\mathrm{all}n\in \mathbf{N}.$
[NCERT EXEMPLAR]

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{P}\left(n\right):a_n=3·7^{n-1}\mathrm{for}\mathrm{all}n\in \mathbf{N}. \\ \mathrm{Step}\mathrm{I}:\mathrm{For}n=1, \\ P\left(1\right): \\ {a}_1=3·7^{1-1}=3·1=3 \\ \mathrm{So},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}n=1. \\ \mathrm{Step}\mathrm{II}:\mathrm{For}n=k, \\ \mathrm{Let}\mathrm{P}\left(k\right):a_k=3·7^{k-1}\mathrm{be}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{some}k\in \mathbf{N}\mathrm{and}k\ge 2. \\ \mathrm{Step}\mathrm{III}:\mathrm{For}n=k+1, \\ {a}_{k+1}=7a_k \\ =7·3·7^{k-1}\left(\mathrm{Using}\mathrm{step}\mathrm{II}\right) \\ =3·7^{k-1+1} \\ =3·7^{\left(k+1\right)-1} \\ \mathrm{So},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{true}\mathrm{for}n=k+1. \\ \mathrm{Hence},a_n=3·7^{n-1}\mathrm{for}\mathrm{all}n\in \mathbf{N}. \end{gathered}$$