Question

A two- digit number is formed by either subtracting 17 from nine times the sum of the digits or by adding 21 to 13 times the difference of the digits. Find the number

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{digit}\mathrm{at}\mathrm{units}\mathrm{place}=\mathrm{x} \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{digit}\mathrm{at}\mathrm{tens}\mathrm{place}=\mathrm{y} \\ \mathrm{Now},\mathrm{original}\mathrm{number}=10\mathrm{y}+\mathrm{x} \\ \mathrm{Now},\mathrm{according}\mathrm{to}\mathrm{first}\mathrm{condition}: \\ 9\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)-17=10\mathrm{y}+\mathrm{x} \\ \Rightarrow 8\mathrm{x}-\mathrm{y}=17......\left(1\right) \\ \mathrm{According}\mathrm{to}\mathrm{second}\mathrm{condition}: \\ 13\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)+21=10\mathrm{y}+\mathrm{x}\mathrm{or}13\left(\mathrm{y}-\mathrm{x}\right)+21=10\mathrm{y}+\mathrm{x} \\ 12\mathrm{x}-23\mathrm{y}=-21......\left(2\right)\mathrm{or}3\mathrm{y}-14\mathrm{x}=-21.....\left(3\right) \\ \mathbf{SOLVING}\mathbf{}\left(\mathbf{1}\right)\mathbf{}\mathbf{AND}\mathbf{}\left(\mathbf{2}\right)\mathbf{}\mathbf{:} \\ \mathrm{Multiply}\left(1\right)\mathrm{by}3\mathrm{and}\left(2\right)\mathrm{by}2,\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 24\mathrm{x}-3\mathrm{y}=51....\left(4\right) \\ 24\mathrm{x}-46\mathrm{y}=-42....\left(5\right) \\ \mathrm{Subtracting}\left(5\right)\mathrm{from}\left(4\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 43\mathrm{y}=93\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{93}{43}\mathbf{}\left[\mathbf{not}\mathbf{}\mathbf{possible}\mathbf{}\mathbf{as}\mathbf{}\mathbf{the}\mathbf{}\mathbf{digit}\mathbf{}\mathbf{can}\mathbf{}\mathbf{not}\mathbf{}\mathbf{be}\mathbf{}\mathbf{in}\mathbf{}\mathbf{fraction}\right] \\ \mathbf{SOLVING}\mathbf{}\left(\mathbf{1}\right)\mathbf{}\mathbf{AND}\mathbf{}\left(\mathbf{3}\right)\mathbf{}\mathbf{:} \\ \mathrm{Multiply}\left(1\right)\mathrm{by}3,\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 24\mathrm{x}-3\mathrm{y}=51....\left(6\right) \\ \mathrm{Adding}\left(3\right)\mathrm{and}\left(6\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 10\mathrm{x}=30\Rightarrow \mathrm{x}=3 \\ \mathrm{Now},\mathrm{from}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 8\times 3-\mathrm{y}=17 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=7 \\ \mathrm{So},\mathrm{original}\mathrm{number}=10\times 7+3=73 \end{gathered}$$