Question

$∆$ABC is an isoceles triangle (fig. 3.54)
seg AB = seg AC
seg AP, seg BQ, seg CQ are angle bisectors of respective angles of $∆$ABC.
(i) Find the pairs of congruent triangles
(ii) Find the triangles which are isosceles.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}:△\mathrm{ABC}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{isosceles}\mathrm{triangle}. \\ \Rightarrow \mathrm{AB}=\hspace{0.17em}\mathrm{AC}, \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}.\mathrm{seg}\mathrm{AB}=\mathrm{seg}\mathrm{AC} \\ \mathrm{seg}\mathrm{AP},\mathrm{seg}\mathrm{BQ},\mathrm{seg}\mathrm{CQ}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{angle}\mathrm{bisectors}. \\ \Rightarrow \angle \mathrm{BAQ}=\angle \mathrm{CAQ},\angle \mathrm{ABQ}=\angle \mathrm{QBC},\angle \mathrm{ACQ}=\angle \mathrm{QCP} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{i}\right)\mathrm{In}△\mathrm{AQB}\mathrm{and}△\mathrm{AQC}, \\ \angle \mathrm{BAQ}=\angle \mathrm{CAQ}\left(\text{g}\mathrm{iven}\right) \\ \mathrm{seg}\mathrm{AB}=\mathrm{seg}\mathrm{AC}\left(\text{g}\mathrm{iven}\right) \\ \angle \mathrm{ABQ}=\angle \mathrm{ACQ}\left(\text{g}\mathrm{iven}\right) \\ \mathrm{Thus},△\mathrm{AQB}\cong △\mathrm{AQC}(\text{by}\mathrm{ASA}\mathrm{congruency}\mathrm{test}) \\ \mathrm{In}△\mathrm{ABP}\mathrm{and}△\mathrm{ACP}, \\ \angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{CAP}\left(\text{g}\mathrm{iven}\right) \\ \angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{ACP}\left(\text{g}\mathrm{iven}\right) \\ \mathrm{seg}\mathrm{AP}=\mathrm{seg}\mathrm{AP}\left(\text{c}\mathrm{ommon}\right) \\ \mathrm{Thus},△\mathrm{ABP}\cong △\mathrm{ACP}(\text{by}\mathrm{AAS}\mathrm{congruency}\mathrm{test}) \\ \mathrm{Also},\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{APC}(\text{by}\mathrm{c}.\mathrm{s}.\mathrm{c}.\mathrm{t})....\left(1\right) \\ \mathrm{and},\mathrm{BP}=\hspace{0.17em}\mathrm{PC}(\text{by}\mathrm{c}.\mathrm{s}.\mathrm{c}.\mathrm{t})....\left(2\right) \\ \mathrm{In}△\mathrm{BPQ}\mathrm{and}△\mathrm{CPQ}, \\ \mathrm{seg}\mathrm{PQ}=\mathrm{seg}\mathrm{PQ}\left(\text{c}\mathrm{ommon}\right) \\ \angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{APC}\left\{\text{f}\mathrm{rom}\right(1\left)\right\} \\ \mathrm{BP}=\hspace{0.17em}\mathrm{PC}\left\{\text{f}\mathrm{rom}\left(2\right)\right\} \\ \mathrm{Thus},△\mathrm{BPQ}\cong △\mathrm{CPQ}(\text{by}\mathrm{SAS}\mathrm{congruency}\mathrm{test}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{The}\mathrm{isosceles}\mathrm{triangles}\mathrm{are} \\ △\mathrm{ABC}\{\because \mathrm{seg}\mathrm{AB}=\mathrm{seg}\mathrm{AC}(\mathrm{given}\left)\right\} \\ \text{and}△\mathrm{QBC}\{\because \mathrm{QB}=\mathrm{QC}(\text{by}\mathrm{c}.\mathrm{s}.\mathrm{c}.\mathrm{t},\mathrm{as}△\mathrm{QBP}\cong \mathrm{QPC}\left)\right\} \end{gathered}$$