Question

$$\begin{gathered} △\mathrm{ABC}\mathrm{is}\mathrm{right}-\mathrm{angled}\text{at}\mathrm{A}.\mathrm{A}\mathrm{circle}\mathrm{is}\mathrm{inscribed}\mathrm{in}\mathrm{it}.\mathrm{The}\mathrm{lengths}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sides}\mathrm{containing}\mathrm{the}\mathrm{right}\mathrm{angle}\mathrm{are}6\mathrm{cm}\mathrm{and}8\mathrm{cm}. \\ \mathrm{Find}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}. \end{gathered}$$

Answer 1

We have to find the radius of the circle .
Construction: Draw OD,OE and OF .

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{be}x\mathit{}\mathrm{cm}. \\ \text{It}\mathrm{means}\mathrm{OD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=\mathrm{x}\mathrm{cm}. \\ \text{G}\mathrm{iven}:\angle \mathrm{A}=90° \\ \mathrm{In}△\mathrm{CAB}, \\ {\mathrm{CB}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{CB}}^2=8^2+6^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{CB}}^2=64+36 \\ \Rightarrow {\mathrm{CB}}^2=100 \\ \Rightarrow \mathrm{CB}=10\mathrm{cm} \\ \mathrm{Area}\mathrm{of}△\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\times 8\times 6=24{\mathrm{cm}}^2 \\ \mathrm{Area}\mathrm{of}△\mathrm{CAB}=\mathrm{Area}\mathrm{of}△\mathrm{AOB}+\mathrm{Area}\mathrm{of}△\mathrm{BOC}+\mathrm{Area}\mathrm{of}△\mathrm{COA} \\ \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{line}\mathrm{joining}\mathrm{the}\mathrm{centre}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{contact} \\ \mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{tangent}\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}\mathrm{to}\mathrm{it}. \\ \mathrm{Area}\mathrm{of}△\mathrm{AOB}=\frac{1}{2}\times 8\times x\mathit{}...\left(1\right) \\ \mathrm{Area}\mathrm{of}△\mathrm{BOC}=\frac{1}{2}\times 10\times x\mathit{}\mathit{}...\left(2\right) \\ \mathrm{Area}\mathrm{of}△\mathrm{COA}=\frac{1}{2}\times 6\times x\mathit{}\mathit{}...\left(3\right) \\ \mathrm{From}\left(1\right),\left(2\right)\&\left(3\right),\text{we get}: \\ 24=\frac{1}{2}\times 8\times x\mathit{}+\frac{1}{2}\times 10\times x\mathit{+}\frac{1}{2}\times 6\times x\mathit{}\mathit{} \\ \Rightarrow 24=\frac{1}{2}\left(8x+10x+6x\right) \\ \Rightarrow 48=24x \\ \Rightarrow x=2\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Thus, the radius of the circle measures 2 cm.