Question

ABCD is a parallelogram. AP the bisector of ∠A and CQ the bisector of ∠C meet the opposite sides in P and Q, respectively. Prove that
AP || CQ.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}:\mathrm{In}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABCD},\mathrm{AP}\mathrm{is}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{CQ}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{C}. \\ \mathrm{To}\mathrm{prove}:\mathrm{AP}\parallel \mathrm{CQ} \\ \mathrm{Proof}: \\ \mathrm{As},\angle \mathrm{PAQ}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{BAD}\left(\mathrm{Since},\mathrm{AP}\mathrm{is}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{A}\right) \\ \mathrm{And},\angle \mathrm{PCQ}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{BCD}\left(\mathrm{Since},\mathrm{CQ}\mathrm{is}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{C}\right) \\ \mathrm{But}\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BCD}\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{parallelogram}\hspace{0.17em}\mathrm{ABCD}\right) \\ \mathrm{or}\frac{1}{2}\angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{BCD} \\ \mathrm{So},\angle \mathrm{PAQ}=\angle \mathrm{PCQ} \\ \mathrm{But}\angle \mathrm{PCQ}=\angle \mathrm{BQC}\left(\mathrm{Alternate}\mathrm{interior}\mathrm{angles}\right) \\ \Rightarrow \angle \mathrm{PAQ}=\angle \mathrm{BQC} \\ \mathrm{But}\mathrm{these}\mathrm{are}\mathrm{corresponding}\mathrm{angles}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{lines}\mathrm{AP}\mathrm{and}\mathrm{CQ}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{AP}\parallel \mathrm{CQ} \end{gathered}$$