Question

$$\begin{gathered} △\mathrm{ABD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{triangle}\mathrm{in}\mathrm{which},\angle \mathrm{A}=90°\mathrm{and}\mathrm{seg}\mathrm{AC}\perp \mathrm{seg}\mathrm{BD}. \\ \mathrm{Show}\mathrm{that} \\ \left(\mathrm{i}\right){\mathrm{AB}}^2=\mathrm{BC}.\mathrm{BD} \\ \left(\mathrm{ii}\right){\mathrm{AD}}^2=\mathrm{BD}.\mathrm{CD} \\ \left(\mathrm{iii}\right){\mathrm{AC}}^2=\mathrm{BC}.\mathrm{CD} \end{gathered}$$

Answer 1

$\mathrm{In}△\mathrm{ABD},\angle \mathrm{A}=90°\mathrm{and}\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}.$
Fig
(i)
$$\begin{gathered} \mathrm{In}△\mathrm{BCA}\mathrm{and}△\mathrm{BAD}, \\ \angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{BAD}[90°\mathrm{each}] \\ \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{B}\left[\mathrm{Common}\right] \\ \mathrm{Thus},\mathrm{from}\text{the}\mathrm{AA}\mathrm{similarity}\mathrm{test},\mathrm{we}\mathrm{get}: \\ △\mathrm{BCA}~△\mathrm{BAD} \\ \mathrm{Thus},\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BD}} \\ \Rightarrow {\mathrm{AB}}^2=\mathrm{BC}\times \mathrm{BD}. \end{gathered}$$

(ii)
$$\begin{gathered} \mathrm{In}△\mathrm{ACD}\text{and}△\mathrm{BAD}, \\ \angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{BAD}[90°\mathrm{each}] \\ \angle D=\angle D\left[\mathrm{Common}\right] \\ \mathrm{Thus},\mathrm{by}\text{the}\mathrm{AA}\mathrm{similarity}\mathrm{test}, \\ △\mathrm{ACD}~△\mathrm{BAD} \\ \mathrm{Thus}, \\ \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}} \\ \Rightarrow {\mathrm{AD}}^2=\mathrm{BD}\times \mathrm{CD}. \end{gathered}$$

(iii)
$$\begin{gathered} \mathrm{Since}△\mathrm{BCA}~△\mathrm{BAD}\mathrm{and}△\mathrm{ACD}~△\mathrm{BAD}, \\ △\mathrm{BCA}~△\mathrm{ACD}. \\ \mathrm{Thus}, \\ \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CD}} \\ \Rightarrow {\mathrm{AC}}^2=\mathrm{BC}\times \mathrm{CD}. \end{gathered}$$