Question

At what points on the curve x²+ y²- 2x-4y+1=0 the tangents are parallel to the y-axis ?

Answer 1

Dear student,
$$\begin{gathered} \mathrm{Line}\mathrm{parallel}\mathrm{to}\mathrm{x}-\mathrm{axis}\mathrm{is}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{form} \\ \mathrm{y}=\mathrm{k} \\ \mathrm{So}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0....\left(1\right) \\ \mathrm{Now}, \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-2\mathrm{x}-4\mathrm{y}+1=0 \\ \mathrm{differentiating}2\mathrm{x}+2\mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-2-4\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1-\mathrm{x}}{\mathrm{y}-2}=0\left[\mathrm{Using}\mathrm{equation}1\right] \\ 1-\mathrm{x}=0 \\ \mathrm{x}=1 \\ \mathrm{So}1+{\mathrm{y}}^2-2-4\mathrm{y}+1=0 \\ {\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}=0 \\ \mathrm{y}=0,4 \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{are}\left(1,0\right)\mathrm{and}\left(1,4\right) \end{gathered}$$