Question

Q. Let a and b be real numbers greater than 1 for which there exists a positive real number c, different
from 1, such that $2\left({\log }_{a}c+{\log }_{b}c\right)=9{\log }_{ab}c.Findthelargestpossiblevalueof{\log }_{a}b$.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Hi}, \\ 2\left({\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}+{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{c}\right)=9{\log }_{\mathrm{ab}}\mathrm{c} \\ 2\left(\frac{1}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{a}}+\frac{1}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}}\right)=\frac{9}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{ab}} \\ \mathrm{multiply}\mathrm{by}{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}\mathrm{both}\mathrm{side} \\ 2\left(\frac{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{a}}+\frac{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}}\right)=\frac{9{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{ab}} \\ 2\left({\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}+1\right)=\frac{9}{{\displaystyle \frac{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{ab}}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}}}} \\ 2\left({\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}+1\right)=\frac{9}{{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{ab}}=\frac{9}{{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{a}+{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{b}} \\ 2\left({\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}+1\right)=\frac{9}{{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{a}+1}=\frac{9}{{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}}}+1} \\ lett={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b} \\ 2\mathrm{t}+2=\frac{9\mathrm{t}}{1+\mathrm{t}} \\ 2\mathrm{t}+2{\mathrm{t}}^2+2+2\mathrm{t}=9\mathrm{t} \\ 2{\mathrm{t}}^2-5\mathrm{t}+2=0 \\ 2{\mathrm{t}}^2-4\mathrm{t}-\mathrm{t}+2=0 \\ 2\mathrm{t}\left(\mathrm{t}-2\right)-1\left(\mathrm{t}-2\right)=0 \\ \left(2\mathrm{t}-1\right)\left(\mathrm{t}-2\right)=0 \\ \mathrm{t}=\frac{1}{2},2 \\ \mathrm{so}{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}=\frac{1}{2},2 \\ \mathrm{so}\mathrm{maximum}\mathrm{value}\mathrm{is}2 \end{gathered}$$